| 研究課題/領域番号 |
20K03601
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
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| 研究分担者 |
樋上 和弘 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (60262151)
藤 博之 大阪工業大学, 情報科学部, 教授 (50391719)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 体積予想 / 量子不変量 / Chern-Simons 不変量 / Reidemeister torsion / 結び目 / ３次元多様体 / 色付きジョーンズ多項式 / 色付きJones多項式 / Chern-Simons不変量 / Chen-Yang予想 / Kashaev不変量 / ねじれReidemeister torsion / Jones 多項式 / 基本群の表現 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
結び目や3次元多様体の量子不変量は，作用素環論や理論物理を契機に導入されたものであり，20世紀末から盛んに研究されている．特に，近年体積予想を初めとして，量子不変量の漸近挙動と，位相的な性質を結びつける試みが注目を集めている．
本研究では，量子不変量の典型的な例である，結び目の色付きJones多項式や，3次元多様体のWitten-Reshetikhin-Turaev不変量の漸近挙動を考察し，それを位相的な観点から調べる．
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| 研究成果の概要 |
量子不変量とは，リー環とその表現に付随した，３次元多様体や結び目・絡み目の不変量である．本研究では，基本的な量子不変量である色付きジョーンズ多項式とWitten-Reshetikhin-Turaev不変量に着目し，反復トーラス結び目とトーラス結び目のデーン手術で得られる閉3次元多様体に対してこれらの不変量を計算し，その漸近挙動を考察した．
どちらの場合にも，結び目補空間の基本群のSL(2;C)表現に対応した，Chern-Simons不変量とReidemeister torsionが現れることが示された．
この結果は，体積予想とその一般化，されには３次元多様体版体積予想を裏付けるものである．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
結び目の体積予想やその3次元多様体版は，量子不変量と幾何的不変量を結びつけようとするものである．近年の研究により，これらの予想は低次元トポロジーを含む幾何学のみならず，代数学や解析学とも深いかかわりを持っていることが次第に明らかになってきた．さらに理論物理学にも大きな影響を与えている．このことから，この予想の解決に向けて具体的な傍証を与えることは大きな意義があると考える．
本研究では，トーラス結び目のデーン手術で得られた３次元多様体と，反復トーラス結び目という限定された対象ではあるが，双曲多様体では現れない興味深い現象が得られたことは大いに意義がある．
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