| 研究課題/領域番号 |
20K03661
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
仲田 均 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 名誉教授 (40118980)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 連分数変換 / エルゴード理論 / Farey グラフ / 虚二次体 / 虚2次体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
A. F. Beardon、M. Hockman 達はFareyグラフを通して連分数展開のgeodesicの概念を導入した。本研究ではその概念を用いて測度論的あるいは確率論的研究に有効な手法を開発しこの分野に新たな展開を与える。また G. A. Jones, D. Singerman, K. Wicks 達の研究を発展させた幾つかの複素数に関する研究では3次元双曲空間での表現でも同様に測度論的、確率論的側面を連分数変換の手法に取り入れる。これらを通してグラフ理論を通した新たなエルゴード理論的な取り扱いを数論的変換一般に確立させる。
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| 研究成果の概要 |
本研究では、Farey グラフの構造を利用し、ざまざまな連分数変換のエルゴード理論的性質や確率論的性質の研究を行った。とりわけ複素数における虚二次体のFarey グラフの構造とFord 球との関係を研究する事でユークリッド虚二次体に関する nearest integer 型複素連分数変換の自然拡大を上半空間の測地線の集合上の写像として構成することに成功した。また、実連分数の問題では、α-連分数変換の中でエントロピー最大となるαの範囲を決定し、C. Kraaikamp, T. Schmidt, W. Steiner により提起された問題を解決した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
連分数の数論的側面と双曲空間上の測地線の関係はある程度知られていたが、本研究成果によりさらに Fareyグラフとその上の測地線の概念を利用することにより、この分野の研究に新たな展開を見せることに成功した。これにより、連分数の研究における数論、双曲幾何、グラフ理論など様々な側面の関連が見通せるようになった。今後、複素連分数の研究の進展に新たな道筋を示すことができた。
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