| 研究課題/領域番号 |
20K14292
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 九州大学 (2022)
名古屋大学 (2020-2021) |
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研究代表者 |
松坂 俊輝 九州大学, 数理学研究院, 助教 (60868157)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | モックモジュラー形式 / サイクル積分 / Rademacher記号 / モジュラー結び目 / 量子不変量 / 多重Bernoulli数 / 双曲型Eisenstein級数 / 実二次体 / 双曲アイゼンシュタイン級数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
モジュラー形式のフーリエ係数には，数論的に重要な情報が様々に現れる．これをカスプのまわりでの様子と見るならば，虚二次点や実二次点のまわりにおいては，どのような現象が見られるだろうか．本研究テーマは，ヘッケやピーターソンに由来するこの3種のフーリエ係数の数論的な役割について，この十数年の間に急速に進展している多種の非正則なモジュラー形式の理論を導入し，また相互に影響を与え発展させることで，その解明を目指すものである．
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| 研究実績の概要 |
本年度は3件の論文執筆・修正に取り組んだ．まず，Witten-Reshetikhin-Turaev不変量に関連する葉廣級数と呼ばれるq-級数の族を考察した．このq-級数は，通常qが1の冪根のときのみ意味を持つが，いくつかの場合には，単位円盤上の正則関数を定めることもある．例えば，Poincareホモロジー球面に対する葉廣のunified WRT不変量がそうである．先行研究において，この級数の1の冪根における不連続性が観察されていたが，今回，Baileyの補題およびmock, falseの2種のテータ関数の理論を用いることで，この不連続性に一つの説明を与えることに成功した．
次に，本研究課題の主題の一つとして長く取り組んでいた2つのモジュラー結び目の絡み数に関する研究に区切りをつけ，論文の受理まで至った．実二次無理数に対しモジュラー結び目が1つ定まるが，Dukeらによると，2つのモジュラー結び目の間の絡み数が有理周期関数を用いて計算される．本研究では，Parsonの重さ2の双曲型Eisenstein級数とその（新たに導入した）均質化サイクル積分を考察することで，GhysとDukeらの両方の結果に新たな共通の枠組みを与えることに成功した．
最後にその他の話題として，Benyiとの共同研究において，中央二項級数の負の整数点での値の有理数部分が多重Bernoulli数の和で表示されるというStephanの観察に証明を与えることができた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
対面での研究集会開催や海外渡航も制限が緩和され，最初の2年間に比べ，非常に活発な議論を行うことができた．2022年度から所属が九州大学に変わったこともあり，研究計画における「トポロジーと関連する領域」により深く取り組むための環境が整った．さらに，コロナ禍で延期になっていた八王子数論セミナーもようやく開催でき，当初想定していた研究計画を着実に進めることができた1年であった．
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| 今後の研究の推進方策 |
基本的には2022年度までの研究を継続して計画を遂行していくつもりである．2023年度は本研究課題の最終年度であるので，得られている成果についてはまとめて発表を行い，今後の発展について関連研究者と議論を行っていきたい．特に本研究期間中に新たに得られた方向性である「サイクル積分やモックモジュラー形式とトポロジーとの関係」について理解を深めることで，サイクル積分の数論的な意義について深く踏み込んでいきたいと考えている．
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