| 研究課題/領域番号 |
20K14314
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 徳島大学 (2022)
九州大学 (2020-2021) |
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研究代表者 |
安本 真士 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 講師 (70770543)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 離散微分幾何 / 可積分系 / 離散微分幾何学 / 微分幾何学 / 離散幾何学 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
曲面の微分幾何学の研究は，現代微分幾何学の根幹をなす，最も長い歴史を持つ重要な研究分野である．近年，連続的な微分幾何学を離散的な土台のもとで従来の理論を再整備・再構築する研究が活発になされ，種々の研究領域と関わりを持ちながら発展を遂げている．本研究課題では，微分幾何学的性質を持つ種々の離散曲面の構成法を新たに導出するとともに，連続的な曲面の微分幾何学の問題への応用も視野に入れて，適切な分割をとることで離散曲面が同じ微分幾何的性質を持つ曲面に収束するかの詳細な解析を与える．
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| 研究実績の概要 |
今年度は主に以下の成果を得た．
[1] 3次元ミンコフスキー空間内の離散時間的平均曲率一定曲面の理論を構築するための準備として，Joseph Cho氏（ウィーン工科大学）と共同で，3次元ミンコフスキー空間内の時間的平均曲率一定曲面に関する研究を行った．離散時間的等温曲面の場合に対する定式化については一定の成果が得られたため，離散時間的反等温曲面の場合にはどのように定式化するかが今後の課題となる．
[2] 赤嶺新太郎氏（日本大学），Joseph Cho氏（ウィーン工科大学），Wayne Rossman氏（神戸大学），Seong-Deog Yang氏（高麗大学校）と共同で，3次元ミンコフスキー空間内の離散平均曲率零曲面の実解析的延長問題についての研究を行った．離散曲面に対して直接この問題を考えることは困難だが，対応する離散正則関数，離散パラ正則関数の性質に着目すればこのような問題を考えることが出来ることが分かった．収束性に関する議論は今後の課題であるが，離散曲面の収束性に関する新たな知見が得られたことは大変意義深い．
[3] 昨年度からの継続課題として，離散極小曲面にダルブー変換を施すことによって得られる離散極小曲面の漸近的振る舞いに関する研究を進めた．離散極小曲面が平面エンド，カテノイドエンドを持つための条件を現在も検証中である．
これらに加えて，2022年11月，2023年3月にそれぞれ第13回日本数学会季期研究所「微分幾何と可積分系」の第2弾，第3弾企画をはじめとした数件の国際研究集会を対面オンラインの併用で開催し，本研究課題に係る最新の研究の情報収集や普及に努めた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Mason Pember氏（バース大学），Denis Polly氏（神戸大学）との共同研究の結果が出版された．また新型コロナウイルス感染症拡大以降初めて，本研究課題の主たる研究協力者であるWai Yeung Lam氏（ルクセンブルク大学）とは，離散曲面の連続極限および3次元ミンコフスキー空間内の離散空間的平均曲率一定曲面の応用，またJoseph Cho氏（ウィーン工科大学）とは，離散極小曲面にダルブー変換を施すことによって得られる離散極小曲面の漸近的振る舞いについて有益な議論を行うことが出来た．さらに今年度は，本研究課題に関連する国際研究集会を4件開催した．特に，第13回日本数学会季期研究所第2弾，第3弾企画を開催し，関連研究者の方々と研究交流を行うことが出来たことは，本研究課題を遂行し今後の研究プロジェクトの新規開拓につながるだけではなく，海外研究グループとの連携をより強化・拡大することに成功したと言える．その一方で，論文の執筆に関しては，これらの大型研究プロジェクト推進のための準備に予想以上の時間を割かれたため，遅延が生じている．当初の想定より取り組むべき研究が豊富であることがわかり，多くの研究者も巻き込み，共同研究を開始することには成功したが，論文執筆が遅れていることから，概ね順調に進展していると判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
まずはこれまでに得られた成果を論文に取りまとめて国際誌に投稿する．また3次元ミンコフスキー空間内の離散平均曲率零曲面の連続極限については，対応する離散正則関数，離散パラ正則関数の連続極限から収束性の解析を試みる．また近年の研究の動向も鑑みて，分割のステップ数を増やすことによって，3次元ミンコフスキー空間内の新たな平均曲率零曲面を与えうる，離散平均曲率零曲面の具体例を構成する．また当初の研究計画のうち，着手が遅れている，3次元双曲空間内の平均曲率の絶対値が1未満となる離散平均曲率一定曲面に対しての離散DPW法については，Thomas Raujouan氏（日本学術振興会外国人研究員，神戸大学，2023年3月より）と議論を進め，研究を遂行する．
これと同時に，研究代表者が組織委員の一員であった，第13回日本数学会季期研究所「微分幾何と可積分系」の査読付きプロシーディングスを発行することとなったので，出版準備にも取り掛かる．また新型コロナウイルス感染症拡大も徐々に収束しつつあることから，研究代表者がウィーン工科大学，ルクセンブルク大学，高麗大学校に赴いて共同研究を行う．
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