| 研究課題/領域番号 |
20K14341
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
三浦 達哉 東京工業大学, 理学院, 准教授 (40838744)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 幾何学的変分問題 / 高階問題 / 弾性曲線 / 弾性流 / p-弾性曲線 / 極小曲面 / Topping 予想 / 距離関数 / 曲げエネルギー / エラスティカ / p-エラスティカ / 弾性結び目 / Willmore エネルギー / 曲率 / 平均曲率 / 幾何学的不等式 / 変分法 / 変分問題 / 弾性エネルギー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
曲線や曲面の「曲がり具合」を測る量として曲げエネルギーと呼ばれる量がある．適当な曲線もしくは曲面のクラスの中でこのような曲げエネルギーを最小化する問題を考えると，その解の形状は，下敷きのたわみ方や赤血球の凹みなど，現実の様々な物体の形状をよく再現することが知られている．本研究ではこのような数理モデルに対し，数学解析により解の性質，特に一意性や形状に関する情報を調べることを目標とする．
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| 研究成果の概要 |
幾何学的変分問題の中でも、曲率などの高階微分をエネルギーに含むような問題に対し、解の性質に主眼を置いて研究を行った。特に、曲線の曲がり方を測る曲げエネルギーの変分問題である弾性曲線の問題に焦点を当て、幾何学的不等式・臨界点の分類定理・勾配流の挙動の解析などの成果を得た。
またその過程で関連する幾何解析の問題にも広く着手し、曲面の直径と平均曲率の関係に関する Topping 予想の部分的解決および極小曲面理論への応用や、距離関数の特異点集合に関する一般的な構造定理の証明を行った。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
弾性曲線の研究は Daniel Bernoulli および Leonhard Euler により 18 世紀に創始されたものであり、高階幾何学的変分問題の最も基本的な例として純粋数学的に重要であるのみならず、弾性棒の形状を中心とした物理現象の解析に直接適用可能であることや、画像処理などの応用分野においても重要な役割を果たすことが知られている。このような古典的問題を含む様々な幾何解析の問題に対し、未解決問題の解決を含む種々の新しい成果が得られたことは、学術的にも社会的にも意義深いものと考えられる。
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