| 研究課題/領域番号 |
20K14354
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 東京理科大学 (2022-2023)
明治大学 (2020-2021) |
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研究代表者 |
藤原 誠 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 助教 (20779095)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 連続性 / 一様連続性定理 / 直観主義算術 / 論理公理 / 冠頭標準形定理 / 保存拡大性定理 / 構成的数学 / 逆数学 / 弱ケーニヒの補題 / 保存性定理 / 直観主義数学 / 決定可能ファン定理 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は 20世紀初頭にオランダの位相幾何学者L.E.J.Brouwerが提唱した直観主義数学を現代的立場から再検討する数学基礎論の研究である．
方法論としては，構成的逆数学と呼ばれる形式主義的方法論を用いる．これにより，通常の数学と矛盾する直観主義数学の公理や定理に対しても逆数学的解析を行うことが可能となる．
さらに，並行して，構成的逆数学を計算可能解析学や古典的逆数学と関連付けるメタ定理の開発に取り組む．
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| 研究成果の概要 |
直観主義数学における主要概念であるベール空間から自然数集合への関数の連続性を構成的逆数学の観点から解析し，「バー再帰を持つモジュラスによって各点連続であること」によって特徴付けた．
また，直観主義数学に端を発する単位区間上の一様連続性定理を逆数学的に解析し，「モジュラスに連続性を加味した単位区間上の連続関数に対する一様連続性定理」が弱い関数存在公理しか含まない直観主義有限型算術体系上で完全二分岐木に対する決定可能ファン定理と同値になることを示した．
さらに，直観主義数学の逆数学的解析のための枠組み研究として，直観主義算術上の論理公理の階層構造と冠頭標準形定理及び保存拡大性定理の関係性を解明した．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
本研究は20世紀初等にブラウアーとその弟子たちによって直観主義数学における主要概念である関数の連続性概念や直観主義数学に端を発し現代数学に通じる一様連続性定理を現代的立場から再考察したものである．
本研究の学術的意義は，直観主義数学における強い連続性の概念や通常の数学では測れない連続性概念の間の差異を通常の数学の部分公理系である現代的構成的数学の立場から基礎付けた点にある．
また，直観主義算術上の論理公理の階層構造と冠頭標準形定理及び保存拡大性定理の関係性の研究の成果は，通常の数学と現代的構成的数学の中間に位置する数学的理論を調べるための足掛かりとなるものである．
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