| 研究課題/領域番号 |
20K20879
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
島田 伊知朗 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10235616)
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| 研究期間 (年度) |
2020-07-30 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 消失サイクル / 直線配置 / 二重被覆平面 / K3曲面 / Niemeier 格子 / Leech格子 / extremal 格子 / 計算機代数 / 自己準同型環 / ホッジ予想 / ヒルベルトスキーム / 完全交叉 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
一般ホッジ予想は，複素射影代数多様体のホッジ構造から部分多様体の存在が導けるとする予想であり，代数幾何学におけるきわめて重要な問題の一つであるが，この予想が確かめられている非自明な例はごくわずかしかない．複素射影代数多様体には，その部分多様体全体をパラメトライズするヒルベルトスキームという代数多様体が付随している．複素射影代数多様体が退化するとき，そのヒルベルトスキームも新たな特異点をもつ．この研究は複素射影代数多様体の退化とそのヒルベルトスキームの退化を比較することにより，一般ホッジ予想が成立する例を系統的に構成する方法を確立することである．
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| 研究実績の概要 |
複素代数多様体におけるトポロジカルサイクルの研究は重要な課題である．例えば、代数多様体の族における周期に付随した微分方程式やそのモノドロミーの研究にはトポロジカルサイクルの明示的な記述が必要不可欠である．近年活発に研究がなされ，多くの応用が得られている「数値的代数幾何学」においては，多重積分による周期の数値計算に適したトポロジカルサイクルを具体的に与えなくてはいけない．
複素代数多様体のトポロジーに関する最初の重要な一般理論は Lefschetz による消失サイクルの理論である．研究代表者は，実数体上定義された通常二重点のみをもつ直線配置で分岐する複素アフィン平面の二重被覆の最小特異点解消として得られる曲面のトポロジーを詳しく調べ，直線配置の実構造（チャンバー）を用いて，あるトポロジカルサイクルを定義した．このトポロジカルサイクルは Lefschetz による消失サイクルと色々な点において類似しており，多重被覆への一般化，超平面配置への高次元化，超平面配置の変形のもとでのモノドロミーの計算など多くの研究課題を提示する．
2023年度は，このトポロジカルサイクルの間の交点数を計算した．交点数の計算は技術的に複雑で長いため，この部分のみを論文にまとめた．
2023年9月にベトナムの Quy Nhon で開催された特異点の研究集会に参加し，このトポロジカルサイクルに関する研究発表を行った．またこの研究集会において，ベトナム Dalat 大学の Ta Le Loi 教授と研究連絡をおこない，実代数幾何学的の観点からの研究をおこなうため2023年12月に Dalat 大学を訪問した．
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