| 研究課題/領域番号 |
20K20879
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
島田 伊知朗 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10235616)
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| 研究期間 (年度) |
2020-07-30 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 周期 / ホモロジー群 / 二重平面 / Hodge 構造 / 消失サイクル / 直線配置 / 二重被覆平面 / K3曲面 / Niemeier 格子 / Leech格子 / extremal 格子 / 計算機代数 / 自己準同型環 / ホッジ予想 / ヒルベルトスキーム / 完全交叉 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
一般ホッジ予想は，複素射影代数多様体のホッジ構造から部分多様体の存在が導けるとする予想であり，代数幾何学におけるきわめて重要な問題の一つであるが，この予想が確かめられている非自明な例はごくわずかしかない．複素射影代数多様体には，その部分多様体全体をパラメトライズするヒルベルトスキームという代数多様体が付随している．複素射影代数多様体が退化するとき，そのヒルベルトスキームも新たな特異点をもつ．この研究は複素射影代数多様体の退化とそのヒルベルトスキームの退化を比較することにより，一般ホッジ予想が成立する例を系統的に構成する方法を確立することである．
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| 研究成果の概要 |
Hodge 構造は複素代数多様体の重要な不変量である．Hodge 構造を用いて複素代数多様体のコホモロジー環という位相的なデータとその部分多様体の族という代数的なデータをつなぐ予想である一般 Hodge 予想が定式化される．このHodge 構造を具体的な複素代数多様体のいくつかの例に対して詳細に調べることを目標として研究を行った．特に，近年計算機の発達に伴い実用的なものとなった，周期の数値的計算によるHodge 構造の決定への応用を目的として代数多様体の位相的サイクルの研究を行い，直線配置で分岐する2重平面に対して，その中間次元ホモロジー群の明示的な基底を与え，格子としての構造を記述した．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
Hodge 予想は クレイ研究所が発表したミレニアム問題の一つであり，コホモロジー環のHodge 構造という複素代数多様体の線形的なデータからもとの複素代数多様体の部分多様体がどれだけ復元できるかということについての予想である．計算機の性能の向上により，具体的な複素代数多様体に対して，Hodge 構造，すなわち周期に数値的にアプローチする方法が開かれた．この研究においては，このアプローチの一例としてある代数曲面に対しその中間次元のホモロジー群を明示的に記述した．
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