二相Serrin型優決定問題の解析: 局所から大域へ

• 研究課題/領域番号: 20K22298
• 研究種目: 研究活動スタート支援
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: Cavallina Lorenzo 東北大学, 理学研究科, 助教 (40881264)
• 研究期間 (年度): 2020-09-11 – 2023-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2022年度)
• 配分額: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円); 2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円); 2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
• キーワード: 複合媒質 / 形状最適化問題 / 優決定問題 / 過剰決定問題 / 楕円型偏微分方程式 / 分岐解析 / 対称性 / 陰関数定理 / 形状間関数 / 二相問題 / 二相 / 自由境界問題

研究開始時の研究の概要

介在物を含む母体からなる複合媒質を考える. このとき, 楕円型偏微分方程式における優決定問題を考える. 本優決定問題は, 介在物と母体が同心球の時に可解ではあるが, 任意の介在物と母体の組に対して可解であるとは限らない. 本研究では, 本優決定問題を可解とする介在物と母体の組のことを最良組と呼ぶこととし, 最良組の幾何学的な性質に関する解析を行う.
特に, 最良組の局所的解析及び大域的解析という二つの方針で研究を進める. 局所的解析とは, 既知の最良組の周りの振る舞いに着目した研究方針である. 一方, 大域的解析とは, 最良組全体の集合の大域的な挙動を考察することである.

研究成果の概要

一般に、ある領域で与えられた偏微分方程式を満たす関数は無限に存在する。一方、境界上の挙動も指定すれば、解が一意に存在する。本研究では、2つの境界条件を同時に課した偏微分方程式の「優決定問題」で与えられた複合媒質の数理モデルを考える。これは、1971年にSerrinが単一媒質の場合に導入した優決定問題を複合媒質の場合に拡張したものであり、この特徴の一つは、ある特殊な領域に対してのみ解を許すことである。単一媒質の場合では、解を許す領域は球に限る。一方、複合媒質の場合、球対称でない領域でも解を許すものが存在する。本研究では、このような複合媒質の幾何学的性質（滑らかさ、対称性の破れなど）を考察する。

研究成果の学術的意義や社会的意義

本研究では、複合媒質の形状最適化に由来する問題を扱う。具体的には、ねじりに対する抵抗を表す「ねじり剛性」を最大化する（すなわち、最大限に頑丈な）長い棒の断面について、本研究で扱う優決定問題は解を許すことが知られている。逆にいえば、優決定問題が解を持たない場合、与えられた形状はねじり剛性を最大化しないこととなる。単一媒体の場合、最適形状の断面が円形であることは知られていたが、複合媒質の場合の最適形状については未解決であった。本研究では、複合媒質中の介在物の形状が複合媒質全体の最適形状を決定することを明らかとし、その結果、回転対称でない最適形状の族を構築することに成功した。

研究成果

• [国際共同研究] 西オーストラリア大学(オーストラリア)
• [国際共同研究] University of Western Australia(オーストラリア)
• [国際共同研究] Universite de Lorraine(フランス)
• [国際共同研究] University of Western Australia(オーストラリア)
• [国際共同研究] Universite de Lorraine(フランス)
• [国際共同研究] Universita degli Studi di Firenze(イタリア)
• [雑誌論文] Quantitative stability estimates for a two-phase Serrin-type overdetermined problem (2022)
  • 著者名/発表者名: Lorenzo Cavallina, Giorgio Poggesi, Toshiaki Yachimura
  • 雑誌名: Nonlinear Analysis 巻: 222 ページ: 112919-112919
  • DOI: 10.1016/j.na.2022.112919
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Local analysis of a two phase free boundary problem concerning mean curvature (2022)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 雑誌名: Indiana University Mathematics Journal 巻: 71 号: 4 ページ: 1411-1435
  • DOI: 10.1512/iumj.2022.71.9014
  • 査読あり
• [雑誌論文] Symmetry Breaking Solutions for a Two-Phase Overdetermined Problem of Serrin-Type (2022)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo、Yachimura Toshiaki
  • 雑誌名: Current Trends in Analysis, its Applications and Computation Proceedings of the 12th ISAAC Congress, Aveiro, Portugal, 2019 巻: - ページ: 433-441
  • DOI: 10.1007/978-3-030-87502-2_44
  • ISBN: 9783030875015, 9783030875022
  • 査読あり
• [雑誌論文] The simultaneous asymmetric perturbation method for overdetermined free boundary problems (2022)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 雑誌名: Nonlinear Analysis 巻: 215 ページ: 112685-112685
  • DOI: 10.1016/j.na.2021.112685
  • 査読あり
• [雑誌論文] On an overdetermined problem for composite materials (2021)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 雑誌名: RIMS Kokyuroku 巻: －
  • NAID: 120007166019
• [雑誌論文] The Double Queen Dido’s Problem (2020)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo、Henrot Antoine、Sakaguchi Shigeru
  • 雑誌名: The Journal of Geometric Analysis 巻: － 号: 8 ページ: 7750-7772
  • DOI: 10.1007/s12220-020-00549-1
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Local analysis of a two phase free boundary problem concerning mean curvature (2020)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 雑誌名: Indiana University Mathematics Journal 巻: －
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Spontaneous symmetry breaking for a two-phase overdetermined problem of Serrin-type (2020)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo, Yachimura Toshiaki
  • 雑誌名: 計算工学講演会論文集 Proceedings of the Conference on Computational Engineering and Science 巻: 25
  • NAID: 40022265817
• [学会発表] On an overdetermined problem of Serrin-type in a two-phase composite medium with imperfect interfaces (2023)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: 京都大学応用数理解析セミナーKUAMS (AIMR 数学連携グループセミナーと合 同で開催), 京都大学(オンライン開催)
  • 招待講演
• [学会発表] On an overdetermined problem in a composite medium (2023)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: 研究集会「7th camp Homogenization and its related topics」東北大学
  • 招待講演
• [学会発表] 形状汎関数の非退化な臨界点における対称性と非対称性について (2022)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: 応用解析研究会, 早稲田大学
  • 招待講演
• [学会発表] 不完全界面を有する二相複合媒質における優決定問題について (2022)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: 研究集会「微分方程式の総合的 研究」, 京都大学(オンライン開催)
  • 招待講演
• [学会発表] 複合媒質における過剰決定問題の解の族について (2022)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: Saga Workshop on Partial Differential Equations
  • 招待講演
• [学会発表] A two-phase free boundary problem concerning mean curvature (2021)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: 若手研究集会「波動・振動・流れの制御と逆問題-理論と数値計算-」
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 優決定問題におけるパラメータ付けされた解の族の構成 (2021)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: 広島微分方程式研究会
  • 招待講演
• [学会発表] On an overdetermined problem for composite materials (2021)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: RIMS Workshop on Recent developments on inverse problems for partial differential equations and their applications, 京都大学(Zoom)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Local behavior near the trivial solutions of some two-phase elliptic overdetermined problems (2020)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: UWA Zoom Analysis Seminar, 西オーストラリア大学(Zoom)
  • 招待講演
• [学会発表] On two different two-phase overdetermined problems (2020)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: 福岡大学解析セミナー, 福岡大学(Zoom)
  • 招待講演
• [学会発表] Bifurcation analysis for a two-phase overdetermined problem of Serrin type (2020)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo, Yachimura Toshiaki
  • 学会等名: 日本応用数理学会2020 年年会D[研究部会OS] 数理設計(Zoom)
• [学会発表] 優決定問題における同時非対称摂動法 (2020)
  • 著者名/発表者名: Cavallina Lorenzo
  • 学会等名: 応用数理解析セミナー, 東北大学