| 研究概要 |
以下に述べるような定理が証明できた.これは, Sziklai予想の解決となっている. F(X, Y, Z)を,係数をq元体Fqに持つX, Y, Zについての次数dの斉次多項式とし,これで定まる平面曲線をC, CのFq点全体,すなわち, C(Fq)={(x, y, z)∈P2(Fq) F(x, y, z)=0}を考え,この集合の個数をNq(C)で表す.
定理. F(X, Y, Z)がX, Y, ZについてのFq係数の1次式では割り切れないものとする.このとき,本質的には唯一つの例外を除けば, Nq(C).(d-1) q+1が成り立つ.唯一つの例外とは, d=q=4で, F(X, Y, Z)がF4係数の1次変換で(X+Y+Z) 4+(XY+YZ+ZX) 2+XYZ(X+Y+Z)に移る場合である.
また,次数dの非特異曲線Cで上の不等式で等号をとるようなものが存在するためのdについての必要十分条件はdがq+2, q+1, q, q-1,√<q+1>(ただし, qが平方数), 2のいずれかの場合である.
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