| 研究課題/領域番号 |
21H00989
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
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| 研究分担者 |
白石 大典 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00647323)
相川 弘明 中部大学, 工学部, 教授 (20137889)
角 大輝 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (40313324)
秋山 茂樹 筑波大学, 数理物質系, 教授 (60212445)
宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606)
熊谷 隆 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90234509)
梶野 直孝 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (90700352)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)
2023年度: 5,330千円 (直接経費: 4,100千円、間接経費: 1,230千円)
2022年度: 5,330千円 (直接経費: 4,100千円、間接経費: 1,230千円)
2021年度: 6,630千円 (直接経費: 5,100千円、間接経費: 1,530千円)
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| キーワード | フラクタル / 拡散過程 / ラプラシアン / 熱核 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ユークリッド空間では空間の自然な幾何構造（ユークリッドの距離）から、微分の概念が定義され、微積分学を基盤とした解析学が所与の幾何構造のもとで展開されてきた。一方、フラクタルに代表される複雑な空間では、解析と幾何構造の間の関係は自明ではなくなる。本研究においては、自己相似集合、力学系に表れる不変集合・タイリングなどの複雑な空間において、まず空間のグラフによる離散近似などを用いて拡散過程などの解析的構造の構成し、更にその解析的構造を表現するのに適切な幾何的構造を見出すことを目指す。具体的には、まず、対称性の弱いSiperpinski carpet や Julia 集合などを対象とする。
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| 研究成果の概要 |
一般の距離空間上への拡散過程（Dirichlet form)の構成の問題に対して、空間の分割を用いて空間を近似するグラフの列を与え、そのグラフの列の上の離散的なDirichlet形式のスケーリング極限で空間の局所正則なDirichlet formを構成するというアプローチを行った。そして、Barlow-BassがSierpinski carpet上にBronian motionを構成する際に見出したKnight move条件を一般化したものが、このアプローチが成功するための十分条件であることを明らかにした。更に、その条件を満たす新しい自己相似集合のクラスを見出した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
マンデルプローによって自然界の物体の適切なモデルとして提案されたフラクタル上では、その複雑な形状により通常の微分を基本とする解析学は適用できない。従って、自然界のモデルとしてのこのような複雑な空間で、物理現象を記述するためには、新しい解析学の理論が必要となる。本研究は、複雑な空間の幾何と解析の係わりの研究を通じて、複雑な空間上の拡散現象や波動現象を記述するための基本理論を確立し、さらに複雑な空間と従来の滑らかな空間上の物理現象の本質的な違いを明らかにすることに貢献している。
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