研究課題/領域番号 |
21K20330
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研究種目 |
研究活動スタート支援
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配分区分 | 基金 |
審査区分 |
0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
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研究機関 | 北見工業大学 |
研究代表者 |
豊川 永喜 北見工業大学, 工学部, 助教 (30907762)
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研究期間 (年度) |
2021-08-30 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2021年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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キーワード | 絶対連続不変測度 / 物理的測度 / マルコフ作用素 / 物理的ノイズ / リャプノフ指数 / 混合性 / マルコフ作用素コサイクル / 散逸系 / ランダム力学系 / 無限不変測度 / 無限測度エルゴード理論 / 無限測度混合性 |
研究開始時の研究の概要 |
現象の時間発展を記述する力学系,および力学系にゆらぎが加わったランダム力学系に対して,絶対連続な不変測度が存在するかどうかを調べる事は,エルゴード理論の基本的かつ重要な問題である.従来の研究では主に保存的な系を対象とし,(非可逆な)散逸的な系にいつ絶対連続な不変測度が存在し,如何なる統計的性質を保有するかは未解決の問題であった.本研究は,散逸的な力学系/ランダム力学系に焦点を絞り,絶対連続な無限不変測度の存在ならびに不変測度を通じた統計的性質 (特に無限測度混合性) を解明する事が目的である.
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研究実績の概要 |
昨年度に引き続き,散逸的な力学系から引き起こされるランダム力学系やマルコフ作用素に対する,絶対連続な不変測度の構成の研究を進めた. 昨年度から続けていたBarrientos氏(Fluminense連邦大学),中野氏(東海大学),中村氏(北見工業大学)との国際共同研究では,独立同分布に従うランダム力学系に対して,有限個の絶対連続なエルゴード的不変確率測度(特に物理的測度)が存在し,特に不変測度の台が最大であるという条件を満たすための必要十分条件を与え,さらにマルコフ作用素に対して種々のconstrictivityという概念を導入し,かつ各々に対応するランダム力学系の具体例を与えることで,力学系の統計的性質に関する新たな分類を与えた.以上の結果をまとめた論文を現在投稿中である.この共同研究から派生して,不変測度が必ずしも確率測度でない場合,すなわち有限個の絶対連続なエルゴード的σ-有限不変測度が存在するための同値条件についても単独研究で導出し,現在論文準備中である. 矢野氏(京都大学),中野氏,中村氏との共同研究で得られた,区間上の2つの散逸的な変換を確率的に選択して与えられるランダム力学系に対する一般化逆正弦法則およびDarling--Kac則の結果に関しては,論文にまとめ,国際学術雑誌「Nonlinearily」に掲載された. 昨年度から始めた井上氏(愛媛大学)との共同研究では,共通の中立不動点をと非常に散逸的に振る舞う枝を持つ区分的に凸な一次元ランダム力学系に対して,ルベーグ測度に絶対連続なエルゴード的σ-有限不変測度の存在及び不動点周りでの不変測度の評価を与え,結果をまとめた論文を現在投稿中である.
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究集会等の出張に関して徐々に制限もなくなりつつあり共同研究の交流が盛んになり,かつ昨年度までに始めた研究の多くを論文にまとめることができたため.
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今後の研究の推進方策 |
従来の研究計画にある,散逸的なマルコフ作用素に対する絶対連続なσ-有限不変測度の構成と並列して,Barrientos氏,中野氏,中村氏との共同研究の結果から派生する,ランダム力学系に対する(必ずしも絶対連続ではない)物理的測度がいつ存在するのか,という問題を進めていく予定である. また,井上氏との共同研究で扱った一次元ランダム力学系に対しては,絶対連続な不変測度の漸近的サイズが評価できるため,今後その評価を用いて,不変測度が確率測度である場合は混合性の早さ(mixing time)の評価および中心極限定理などの統計的性質の調査,不変測度が無限測度となる場合は無限測度混合性に関する調査を進めていく予定である.
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