| 研究課題/領域番号 |
22K20337
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| 研究種目 |
研究活動スタート支援
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
林 雅行 早稲田大学, 理工学術院総合研究所(理工学研究所), その他(招聘研究員) (60967850)
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| 研究期間 (年度) |
2022-08-31 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 非線形シュレディンガー方程式 / 非線形分散型方程式 / 初期値問題 / エネルギー空間 / ソリトン / 孤立波 / 進行波 / 定常解 / 不安定性 / 変分法 / 進行波解 / 代数ソリトン / 安定性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
非線形分散型方程式における孤立波を数学的に解析し，孤立波近傍の解の時間大域挙動を明らかにすることを目指す．特に，空間遠方で減衰が遅い孤立波（代数ソリトン）に焦点を当てて研究を進めていく．代数ソリトンは近年の研究で重要性が次第に認識されてきているが，空間遠方で指数的な減衰をもつ通常の孤立波と比べて解析に様々な困難をもたらし，安定性や不安定性といった基本的な問題を含めて未解決な問題が多い．本研究では，一般論の枠組みに入らない孤立波（代数ソリトンが典型例）の安定性／不安定性理論の構築，また不安定な孤立波近傍の大域ダイナミクスの解明を目指して解析手法を整備していく．
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| 研究実績の概要 |
対数型の非線形項をもつ非線形シュレディンガー方程式(NLS)の初期値問題を考え、エネルギー空間および高階のエネルギー空間における強解の一意存在を証明した。対数型の非線形項は原点における特異性のため、局所リプシッツ条件を満たさず、分散性による平滑化効果に基づいた不動点定理の援用では解を構成することができない。ほとんどの先行研究ではコンパクト性に基づいた方法で解の構成がなされていたが、本研究ではCazenave-Harauxが発見した不等式を自然に一般化し、近似解がコーシー列であることを示すことにより強解を構成した。この方法は従来のコンパクト性の方法と比べて初等的な議論であるというだけでなく、近似解の部分列を取ることなく極限先の解の存在を示すことができるという利点もある。また証明における可解性の議論は、非線形項の係数の正負によって状況が異なることを捉えており、これは先行研究の重み付きソボレフ空間における可解性の議論ではみられなかったことである。実際、関数の空間遠方における減衰度の対数オーダーの違いが重み付きソボレフ空間とエネルギー空間に差異を与えていることが分かっており、この空間の違いが方程式の可解性の議論に影響を与えるのは自然なことであると思われる。可解性の議論で得られたこのような知見は、多重ソリトンの構成や安定性、ソリトン同士の衝突といった複雑な解の大域挙動を解明する際にも重要な視点になることが期待される。
上記以外にも、対数型NLSの低い正則性における適切性、一般化微分型NLSの大域可解性、半波動方程式の進行波解の漸近形、NLSにおける定常解の安定性／不安定性の研究も行っており、それぞれにおいて進展があった。何れも非線形分散型方程式の孤立波に関する数学解析で重要なものであり、今後の発展が期待できる。
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