非線形楕円型方程式の解構造の解明と定性理論の新展開

• 研究課題/領域番号: 24740100
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 大域解析学
• 研究機関: 東京大学 (2013-2014); 慶應義塾大学 (2012)
• 研究代表者: 宮本 安人 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (90374743)
• 研究期間 (年度): 2012-04-01 – 2015-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2014年度)
• 配分額: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円); 2014年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2013年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2012年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
• キーワード: 優臨界 / 分岐理論 / 非線形楕円型方程式 / 非線形解析 / ノイマン問題 / ディリクレ問題 / Joseph-Lundgren指数 / 大域的分岐構造 / 解構造の分類 / 不完全分岐 / 臨界Sobolev指数 / ソボレフ優臨界 / 楕円型偏微分方程式 / 分岐図式 / Dirichlet問題 / 特異解

研究成果の概要

非線形楕円型偏微分方程式の正値解の構造に関する研究を行った．特に，正値解のなす分岐図式を研究した．主に２つの成果を得た．１つ目は，ディリクレ問題について領域を適切に変形することによって，分岐図式内の分岐点で不完全分岐が起きることを証明した．２つ目は優臨界と呼ばれる楕円型方程式の正値球対称解のなす分岐図式を研究した．ディリクレ問題については，ほぼ完全な分類理論を完成させた．ノイマン問題についてはスカラーフィールド方程式に対し，部分的な結果が得られた．

研究成果

• [雑誌論文] Nonradial maximizers for a H'enon type problem and symmetry breaking bifurcations for a Liouville-Gel'fand problem with a vanishing coefficient (2015)
  • 著者名/発表者名: Yasuhito Miyamoto
  • 雑誌名: Mathematische Annalen 巻: 361 号: 3-4 ページ: 787-809
  • DOI: 10.1007/s00208-014-1089-4
  • 査読あり
• [雑誌論文] Structure of the positive solutions for supercritical elliptic equations in a ball (2014)
  • 著者名/発表者名: Y Miyamoto
  • 雑誌名: Journal de Mathematiques Pures et Appliquees 巻: 102 号: 4 ページ: 672-701
  • DOI: 10.1016/j.matpur.2014.02.002
  • 査読あり
• [雑誌論文] Classification of bifurcation diagrams for elliptic equations with exponential growth in a ball (2014)
  • 著者名/発表者名: Yasuhito Miyamoto
  • 雑誌名: Annali di Matematica Pura ed Applicata 巻: 未確定 号: 4 ページ: 931-952
  • DOI: 10.1007/s10231-014-0404-8
  • 査読あり
• [雑誌論文] Monotonicity of the first eigenvalue and the global bifurcation diagram for the branch of interior peak solutions (2013)
  • 著者名/発表者名: Y. Miyamoto
  • 雑誌名: Journal of Differential Equations 巻: 254 号: 2 ページ: 342-367
  • DOI: 10.1016/j.jde.2012.08.001
  • 査読あり
• [雑誌論文] A planar convex domain with many isolated "hot spots" on the boundary (2013)
  • 著者名/発表者名: M Miyamoto
  • 雑誌名: Japan Journal of Industrial applied Mathematics 巻: Vol.30 号: 1 ページ: 145-164
  • DOI: 10.1007/s13160-012-0091-z
  • NAID: 10031155726
  • 査読あり
• [雑誌論文] The nonlinear "hot spots" conjecture in balls of S^2 and H^2 (2012)
  • 著者名/発表者名: Y. Miyamoto
  • 雑誌名: Nankai Ser. Pure Appl. Math. Theoret. Phys. 巻: 10
  • 査読あり
• [学会発表] ある最大化問題の最大化元の形状とLiouville-Gel'fand問題の解構造について (2015)
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: 日本数学会2015年度年会
  • 発表場所: 明治大学駿河台キャンパス
  • 年月日: 2015-03-21
• [学会発表] Structure of the positive radial solutions for a supercritical Neumann problem in a ball (2015)
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: Workshop on analysis in Kagurazaka 2015
  • 発表場所: 東京理科大学
  • 年月日: 2015-01-23
  • 招待講演
• [学会発表] Intersection properties of radial solutions and global bifurcation diagrams for supercritical quasilinear elliptic equations (2014)
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: 日本数学会秋季総合分科会
  • 発表場所: 広島大学
  • 年月日: 2014-09-26
• [学会発表] Structure of the positive radial solutions for a supercritical Neumann problem in a ball (2014)
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: 非線型の諸問題
  • 発表場所: 大分県中小企業会館
  • 年月日: 2014-09-18
  • 招待講演
• [学会発表] Structure of the positive radial solutions for a supercritical Neumann problem in a ball (2014)
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: 埼玉数理解析セミナー
  • 発表場所: 埼玉大学サテライトキャンパス（大宮ソニックシティー）
  • 年月日: 2014-07-23
  • 招待講演
• [学会発表] A planar convex domain with many isolated hot spots on the boundary (2014)
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: 談話会
  • 発表場所: 東北大学（川井ホール）
  • 年月日: 2014-05-19
  • 招待講演
• [学会発表] Stable patterns and the nonlinear "hot spots" conjecture
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: 数理科学講演会
  • 発表場所: 東京大学数理科学研究科
  • 招待講演
• [学会発表] Structure of the positive radial solutions for a supercritical Neumann problem in a ball
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: 第２回岐阜数理科学研究会
  • 発表場所: 飛田高山まちの博物館
  • 招待講演
• [学会発表] ソボレフ優臨界の非線形項を持つ$\varepsilon^2\Delta-u+u^p=0$のノイマン問題の正値球対称解の構造について
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: 日本数学会秋季総合分科会
  • 発表場所: 愛媛大学
• [学会発表] Structure of the positive radial solutions for a supercritical Neumann problem in a ball
  • 著者名/発表者名: Yasuhito Miyamoto
  • 学会等名: Workshop on Nonlinear PDE -Japan-China Joint Project for Young Mathematicians
  • 発表場所: 龍谷大学
  • 招待講演
• [学会発表] 指数増大の非線形項を持つDirichlet問題の正値球対称解の構造について
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: 日本数学会2014年度年会
  • 発表場所: 学習院大学
• [学会発表] A structure of the positive radial solutions for a supercritical Neumann problem in a ball
  • 著者名/発表者名: Yasuhito Miyamoto
  • 学会等名: 2014 International Workshop on Nonlinear PDE and Applications
  • 発表場所: 釜山大学（大韓民国）
  • 招待講演
• [学会発表] ソボレフ超臨界の非線形項を持つ楕円型方程式の正値球対称解の構造について
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: ２０１３年日本数学会年会
  • 発表場所: 京都大学
• [学会発表] A planar convex domain with many isolated "hot spots" on the boundary
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: RIMS研究集会「スペクトル・散乱理論とその周辺」
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所
  • 招待講演
• [学会発表] A planar convex domain with many isolated "hot spots" on the boundary
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: RIMS研究集会「偏微分方程式の解の幾何」
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所
  • 招待講演
• [学会発表] 境界に多数のホットスポットがある凸領域の存在について
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: ２０１２年日本数学会秋季総合分科会
  • 発表場所: 九州大学伊都キャンパス
• [学会発表] Stable patterns and Morse index one solutions
  • 著者名/発表者名: Y. Miyamoto
  • 学会等名: The 9th AIMS Conference
  • 発表場所: オーランド（アメリカ，フロリダ州）
  • 招待講演
• [学会発表] Structure of the positive solutions for supercritical elliptic equations in a ball
  • 著者名/発表者名: 宮本安人
  • 学会等名: RIMS研究集会「幾何学的偏微分方程式に対する保存則と正則性特異性の研究」
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所
  • 招待講演