| 研究課題/領域番号 |
24H00024
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| 研究種目 |
基盤研究(S)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 審査区分 |
大区分B
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| 研究分担者 |
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
BEZ NEAL 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (30729843)
藤原 和将 龍谷大学, 先端理工学部, 准教授 (40868262)
杉本 充 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60196756)
林 雅行 京都大学, 人間・環境学研究科, 准教授 (60967850)
片山 聡一郎 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (70283942)
砂川 秀明 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80375394)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2029-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2025年度)
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| 配分額 *注記 |
200,850千円 (直接経費: 154,500千円、間接経費: 46,350千円)
2025年度: 38,220千円 (直接経費: 29,400千円、間接経費: 8,820千円)
2024年度: 27,430千円 (直接経費: 21,100千円、間接経費: 6,330千円)
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| キーワード | 調和解析 / 漸近解析 / 変分解析 / 函数解析 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
臨界相互作用をもつ連立系波動場に関して (1) 簡約化方程式からみた臨界相互作用の零構
造の微細構造 (2) 時間並進対称性からみた繰り込みエネルギーの変分構造 (3) 有界性と完備性からみたハミルトン構造の三つの観点から、(a)漸近解析 (b)調和解析・幾何解析 (c)変分解析の三つの方法論を活用した総合的研究に取組み、非線型発展方程式の抽象理論にまとめる。零構造からみた臨界相互作用の分類や特徴付けを通して、特性法によるピカール逐次近似の閉じた理論体系等の時間局所理論や、解の長時間的挙動の記述などの時空大域理論に新たな切り口を見出すとともに、波動場の臨界相互作用の零構造を全体像として描き出す。
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| 研究実績の概要 |
1.【対数型相互作用をもつシュレディンガー方程式の解析】対数型相互作用をもつシュレディンガー方程式の時間大域解の存在と一意性をソボレフ空間$H^1(R^n), H^2{R^n)$、及びエネルギー空間で証明した。従来知られていたコンパクト性による方法ではなく、近似解の先験評価による有界性と弱いノルムでの完備性による新しい方法論を導入した。
2.【微分型相互作用をもつシュレディンガー方程式の解析】微分型相互作用をもつシュレディンガー方程式の周期強解の存在と一意性を証明し、10年来の未解決問題を解決した。非線型相互作用の特異性を繰り込んだ修正エネルギーを考案し、逐次近似が完結する理論体系を構築した。
3.【熱核による函数不等式の証明】熱核の基本的性質（半群性、正値性、$L^p$評価等）を用いて，ガリアルド・ニーレンバーグの不等式とソボレフの不等式に新しい証明を与えた。
4.【自由シュレディンガー発券作用素の特徴付け】$U(1)$ゲージの下でのガリレイ運動群で不変な偏微分作用素として自由シュレディンガー発展作用素を特徴付け、量子力学的自由粒子の物理の古典力学の枠組による基礎付けを与えた。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
論文として多くの成果を発表するなど当初の計画以上に進展した部分もあり、全体としておおむね順調に進展した。
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| 今後の研究の推進方策 |
1.【対数型相互作用をもつシュレディンガー方程式の解析】今後は発展方程式の抽象論の枠組で一般理論について検討する方針である。
2.【微分型相互作用をもつシュレディンガー方程式の解析】今後は弱解に関する未解決問題に取り組む。
3.【熱核による函数不等式の証明】今後はブレジス・ガルエの対数ソボレフの不等式について検討する方針である。
4.【自由シュレディンガー発券作用素の特徴付け】今後はポテンシャルが存在する設定で問題を定式化し、検討を進める。
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