| 研究課題/領域番号 |
24H00694
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(A)
|
| 配分区分 | 補助金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
中区分60:情報科学、情報工学およびその関連分野
|
|---|
| 研究機関 | 九州大学 |
|---|
研究代表者 |
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
|
|---|
| 研究分担者 |
土屋 卓也 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 招へい研究員 (00163832)
宮路 智行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
木下 武彦 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (30546429)
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2029-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2025年度)
|
| 配分額 *注記 |
47,580千円 (直接経費: 36,600千円、間接経費: 10,980千円)
2026年度: 8,970千円 (直接経費: 6,900千円、間接経費: 2,070千円)
2025年度: 11,310千円 (直接経費: 8,700千円、間接経費: 2,610千円)
2024年度: 11,440千円 (直接経費: 8,800千円、間接経費: 2,640千円)
|
|---|
| キーワード | 精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 非線形偏微分方程式 / 有限要素法 / 射影誤差評価 / 非線形関数方程式 / 非線形微分方程式 / 線形作用素の逆作用素 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
微分方程式に対する精度保証付き数値計算の有力な解法に，既知の情報を出発点として，微小なステップを踏みながら最終目標に到達するホモトピー法があります．本研究は，計算機援用証明により，既知の結果と摂動の情報を用いて，最終目標だけでなく，ホモトピー経路の存在も精度保証付きで一気に低コストで検証する「超」ホモトピー法の構築と，非線形関数方程式の解の存在証明への応用・展開を目的とします．
|
| 研究実績の概要 |
1. 既知の結果と摂動情報を用いて一気に最終目標に到達する「超」ホモトピー法の一般化・高度化を推進しました．具体的には，2階楕円型微分作用素に対して得られている既存の知見を，一般のHilbert空間における無限次元非自己共役線形作用素に対する可逆性の検証，および逆作用素ノルム評価に拡張しました．また，具体的な問題として，重調和作用素および1階微分項に特異性を持つ2階微分作用素に提案手法が適用できることを確認しました．さらに，応募者がこれまで提案してきた非線形関数方程式に対する精度保証付き数値計算法に拡大理論を組み込み，非線形問題の解に対する精度保証付き数値計算を行いました．具体的には，Navier-Stokes方程式より導かれるProudman-Johonson方程式の定常解の存在検証とその単峰性の計算機援用証明，および，浸透性を課した薄い円盤領域における層流を記述したElkouh方程式の非自明解の存在検証に成功しました．
2. 1を遂行するためには，区間演算が実装可能な適切な有限次元部分空間の設定と直交射影の定量的誤差評価が必要です．今年度は，応用問題より導出される各種Hilbert空間から有限次元部分空間への直交射影の厳密な誤差を理論的あるいは計算機援用的に評価する研究を推進しました．具体的な成果として，2階楕円型線形作用素の有限次元一様近似の理論的な収束性証明と，無限次元線形作用素に対する逆作用素ノルムを上限・下限の形で最適なオーダーで包み込むことに成功し，有限要素基底，Fourier級数基底など，理工学の分野で使われる汎用性の高い基底関数より構成される有限次元部分空間に対する精度保証付き検証例を与えました．また，非線形波動方程式から派生する，ある種の特異性を持つ微分作用素から導かれる関数空間に対する直交射影の定量的誤差評価への道筋をつけることができました．
|
| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
研究分担者・海外共同研究者・研究協力者との連携の結果，研究計画に沿った形で順調に進展していると判断します．主たる研究分担者・研究協力者が参加した合宿型のワークショップ，および，海外共同研究者を招聘した集中的な議論を通して，研究課題遂行のための問題点と解決案の情報共有を行うこともできました．
|
| 今後の研究の推進方策 |
昨年度は，主たる研究分担者・研究協力者が参加したワークショップ，および，海外共同研究者を招聘した対面による議論を通して，研究課題遂行のための課題の洗い出しと更なる手法の改良と応用・展開に向けての見通しを立てることができました．その成果も踏まえ，研究年度2年目以降においても，それぞれの研究において得られた成果を踏まえ，更なる研究課題の推進を行いたいと考えています．
|
