幾何学的流れの自己相似解とGIT安定性

• 研究課題/領域番号: 25247003
• 研究種目: 基盤研究(A)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 二木 昭人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (90143247)
• 研究期間 (年度): 2013-04-01 – 2018-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2018年度)
• 配分額: 41,470千円 (直接経費: 31,900千円、間接経費: 9,570千円); 2017年度: 8,060千円 (直接経費: 6,200千円、間接経費: 1,860千円); 2016年度: 8,060千円 (直接経費: 6,200千円、間接経費: 1,860千円); 2015年度: 8,060千円 (直接経費: 6,200千円、間接経費: 1,860千円); 2014年度: 8,060千円 (直接経費: 6,200千円、間接経費: 1,860千円); 2013年度: 9,230千円 (直接経費: 7,100千円、間接経費: 2,130千円)
• キーワード: アインシュタイン計量 / ケーラー多様体 / Fano 多様体 / リッチ流 / リッチ・ソリトン / 平均曲率流 / 自己相似解 / 安定性 / 幾何学

研究成果の概要

幾何学的対象となる曲がった空間が微分方程式をみたしながら時間発展して連続的に変形する時に生ずる特異点についての研究を行った．特異点の近傍を拡大した極限がどのように見えるかを調べると，自己相似解と呼ばれる特別な解にたどり着く．特異点形成を理解することは，この自己相似解を理解することに帰着される．研究期間内に得られた成果は，自己相似解が閉じた空間をなす時，その直径がある普遍的定数以上はあること，錐状空間の場合に自己相似解の得られるメカニズムを解明したこと，自己相似解としての空間の列が収束する時に保たれる性質を調べたことなどである．

研究成果の学術的意義や社会的意義

相対性理論における重力場の方程式は幾何学の言葉ではアインシュタイン計量にあたるものである．アインシュタイン計量の果たす役割は現代物理学においても大きい．本研究の幾何学的流れはアインシュタイン計量などの微分方程式の解として記述される重要な対象を求めるための有力な手段である．解は常に存在するとは限らず，存在するための必要十分条件を記述することが我々の研究分野の目的である．いわば，どのような空間が宇宙たりうるか，という問いに答えを出そうということである．

研究成果

• [雑誌論文] Volume minimization and conformally Kähler, Einstein–Maxwell geometry (2018)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki, Hajime Ono
  • 雑誌名: Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ｊａｐａｎ 巻: 70 号: 4 ページ: 1493-1521
  • DOI: 10.2969/jmsj/77837783
  • NAID: 130007501727
  • ISSN: 0025-5645, 1881-1167, 1881-2333
  • 査読あり
• [雑誌論文] Fano-Ricci limit spaces and spectral convergence (2017)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki, Shouhei Honda and Shunsuke Saito
  • 雑誌名: Asian Journal of Mathematics 巻: 21 号: 6 ページ: 1015-1062
  • DOI: 10.4310/ajm.2017.v21.n6.a2
  • 査読あり
• [雑誌論文] The weighted Laplacians on real and complex metric measure spaces, in Geometry and Analysis on Manifolds (2015)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 雑誌名: Progress in Mathematics 巻: 308 ページ: 343-351
  • 査読あり
• [雑誌論文] Einstein metrics and GIT stability. II (2015)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki and Hajime Ono
  • 雑誌名: Sugaku Expositions 巻: 28 ページ: 231-249
  • NAID: 10030741033
  • 査読あり
• [雑誌論文] Preface (2015)
  • 著者名/発表者名: T. Mabuchi, A. Futaki, Y. Miyaoka, J. Noguchi
  • 雑誌名: Internat. J. Math. 巻: 26 号: 04 ページ: 1-2
  • DOI: 10.1142/s0129167x15020012
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Self-similar solutions to the mean curvature flows on Riemannian cone manifolds and special Lagrangians on toric Calabi-Yau cones (2014)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki, Kota Hattori and Hikaru Yamamoto
  • 雑誌名: Osaka J. Math. 巻: 51 ページ: 1053-1079
  • NAID: 120005986378
  • 査読あり
• [雑誌論文] ベクトル解析の力，巻頭言 (2014)
  • 著者名/発表者名: 二木昭人
  • 雑誌名: 数理科学 巻: 614 ページ: 4-5
• [雑誌論文] Lower diameter bounds for compact shrinking Ricci solitons (2013)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki and Yuji Sano
  • 雑誌名: Asian J. Math. 巻: 17 号: 1 ページ: 17-31
  • DOI: 10.4310/ajm.2013.v17.n1.a2
  • 査読あり
• [雑誌論文] An integral invariant from the view point of locally conformally Kahler geometry (2013)
  • 著者名/発表者名: Kota Hattori
  • 雑誌名: Manuscripta Mathematica 巻: 140 号: 1-2 ページ: 1-12
  • DOI: 10.1007/s00229-011-0527-9
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the first eigenvalue of the Witten-Laplacian and the diameter of compact shrinking solitons (2013)
  • 著者名/発表者名: A. Futaki, H.Z. Li and X.D. Li
  • 雑誌名: Ann. Glob. Anal. Geom 巻: 44 号: 2 ページ: 105-114
  • DOI: 10.1007/s10455-012-9358-5
  • 査読あり
• [学会発表] Hessian formula for the norm squared moment maps and the structure of automorphisms (2018)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: CIRM Luminy, France
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] K安定性と幾何学的非線形問題 (2018)
  • 著者名/発表者名: 二木昭人
  • 学会等名: 東京大学数理科学研究科談話会
  • 招待講演
• [学会発表] Hessian formula for moment maps and the structure of automorphisms (2017)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: Introduction to Modern Mathematics, Tsinghua University, China
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Volume minimization and obstructions to geometric problems (2017)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: Conference on Geometric Analysis, University of British Columbia, Canada
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Volume minimization and conformally Kahler Einstein-Maxwell metrics (2017)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: PRIMA third congress, Oaxaca, Mexico
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Volume minimization principle for conformally Kaehler Einstein-Maxwell metrics (2017)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: The 7-th International Workshop on Differential Geometry, Fukuoka
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Fano-Ricci limit spaces and spectral convergence, (2016)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: Kahler Geometry, Einstein Metrics, and Generalizations
  • 発表場所: Mathematical Sciences Research Insitute, Berkeley, California
  • 年月日: 2016-03-21
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Intorduction to K-stability in Kahler geometry (2016)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: Berkeley-Tokyo Winter School
  • 発表場所: University of California at Berkeley
  • 年月日: 2016-02-17
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Fano-Ricci limit spaces and spectral convergence (2016)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: 11th Pacific Rim Complex Geometry Conference, Hefei, China
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Volume minimization principle for KRS, SE and cKEM (2016)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: International Conference on Differential Geometry, Macau, China
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Fano-Ricci limit spaces and spectral convergence (2015)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: Taipei Conference on Complex Geometry
  • 発表場所: Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan
  • 年月日: 2015-12-19
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Weighted Laplacian on real and complex complete metric measure spaces (2015)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: Recent Advances in Kahler Geometry
  • 発表場所: Vanderbilt University, Nashville
  • 年月日: 2015-05-18
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Weighted Laplacians on real and complex complete metric measure spaces (2015)
  • 著者名/発表者名: 二木昭人
  • 学会等名: 複素解析幾何セミナー
  • 発表場所: 東京大学
  • 年月日: 2015-04-20
  • 招待講演
• [学会発表] Weighted Laplacians on real and complex complete metric measure spaces (2015)
  • 著者名/発表者名: 二木昭人
  • 学会等名: 満渕俊樹教授退職記念小研究会
  • 発表場所: 大阪大学
  • 年月日: 2015-03-12
  • 招待講演
• [学会発表] Kaehler Geometry and GIT stability (2015)
  • 著者名/発表者名: 二木昭人
  • 学会等名: 京都大学談話会
  • 発表場所: 京都大学
  • 年月日: 2015-01-21
  • 招待講演
• [学会発表] ケーラー・アインシュタイン計量とK 安定性 (2013)
  • 著者名/発表者名: 二木昭人
  • 学会等名: 第12 回岡シンポジュウム
  • 発表場所: 奈良女子大学
  • 年月日: 2013-12-15
  • 招待講演
• [学会発表] Sasaki-Einstein geometry (2013)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: Geometry and dynamics 2013
  • 発表場所: 東京大学数理科学研究科
  • 年月日: 2013-09-16
  • 招待講演
• [学会発表] Special Lagrangian submanifolds and Lagrangian self-shrinkers in toric Calabi-Yau cones (2013)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: LIE THEORY AND ITS APPLICATIONS IN PHYSICS
  • 発表場所: Varna, Bulgaria
  • 年月日: 2013-07-17 – 2013-07-24
  • 招待講演
• [学会発表] Lower diameter bound for compact shrinking solitons (2013)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: Extremal Kaehler Metrics
  • 発表場所: Centre de recherches mathematiques, Universite de Montreal
  • 年月日: 2013-05-26 – 2013-06-01
  • 招待講演
• [学会発表] On the book ``Transformation groups in Differential Geometry'' (2013)
  • 著者名/発表者名: Akito Futaki
  • 学会等名: Geometry and Analysis on Manifolds, -- A Memorial Symposium for Professor Shoshichi Kobayashi --
  • 発表場所: 東京大学数理科学研究科
  • 年月日: 2013-05-22 – 2013-05-25
  • 招待講演
• [図書] プリンストン 数学大全 (2015)
  • 著者名/発表者名: 砂田利一 ・石井仁司 ・平田典子 ・二木昭人 ・森真 監訳
  • 総ページ数: 1192
  • 出版者: 朝倉書店
• [備考] Trends in Modern Geometry 2016
  • URL: http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~afutaki/TIMG2016/TIMG2016.html
• [学会・シンポジウム開催] Trends in Modern Geometry 2017, 東京大学数理科学研究科 (2017)
• [学会・シンポジウム開催] Trends in Modern Geometry 2016, 東京大学数理科学研究科 (2016)
• [学会・シンポジウム開催] Trends in Modern Geometry 2015 & 10th Pacific Rim Complex Geometry Conference (2015)
  • 発表場所: 東京大学数理科学研究科 & ホテルサンバレー那須
  • 年月日: 2015-07-27
• [学会・シンポジウム開催] Trends in Modern Geometry (2014)
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科
  • 年月日: 2014-07-07