素数ベキ分体の類数の素因子の分布

• 研究課題/領域番号: 26400020
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 学習院大学
• 研究代表者: 中島 匠一 学習院大学, 理学部, 教授 (90172311)
• 研究協力者: 谷口 哲也
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2019-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2018年度)
• 配分額: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円); 2017年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2016年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円); 2015年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円); 2014年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
• キーワード: 円分体 / 類数 / 円分体の類数

研究成果の概要

円分体の類数（特に、そのマイナスパート）は整数論において重要な研究対象であるが、従来は素数分体についての計算が主眼となっていた。本研究では、その計算を素数ベキ分体にまで拡大し、類数のマイナスパートの性質を研究した。そして、素数ベキ分体の類数については、そのニューパート（＝ベキを上げるときに新しく登場する部分）達が互いに素なのではないか？という予測が（市村文男氏により）なされていて、その予測の検証が本研究の主たる目標となった。
本研究での大規模な数値計算の結果、上記の予測は「ほとんど」成り立ちそうだが、一部の例外がある、という状況を明らかにすることができた。

研究成果の学術的意義や社会的意義

フェルマーの最終定理への応用があることからも分かるように、円分体の類数は、代数的整数論において非常に重要な役割を果たす数である。しかし、従来の類数の計算においては、素数分体の場合が主眼であったし、類数の素因数について考察されることも少なかった。本研究では、素数ベキ分体の場合に研さん範囲を広げ、類数の素因子について新しい仮説の検証を行った。これは、類数の素因子、というテーマについて新しい局面を切り開くものである。