| 研究概要 |
研究のテーマは,リーマン面上の共形場理論の3次元多様体のトポロジーへの応用であ。特に,共形場理論に現れるリーマン面の写像類群の射影表現に基づいて,3次元多様の位相不変量を定義し,これを用いて,Heegaard種数,トンネル数等,3次元多様体とンクの古典的な不変量に関する下からの評価を得た。
Chern-Simonsゲージ理論に基づいたWittenによる3次元多様体の不変量の先駆的な構成の後,組み合せ的,あるいは幾何的な観点から幾つかの仕事がなされた。我々の方法はHeegaard分解とよばれる3次元多様体の記述と,上に述べた共形場理論に現れるリーマン面の写像類群の表現に基づいている。さらに,ここで述べたアプローチと,Dehn surgeryと1のべき根における量群の表現に基づくReshetikhin-Turaevの方法との関連を明らかにした。
上に説明したWitten不変量の表示と,写像類群の表現のユニタリ性を用いて3次元多様のHeegaard種数の下からの評価が得られる。また,この方法を3次元多様体内の結び目適用することにより結び目のトンネル数の下からの評価が得られる。 これは,共形場理論におけるモノドロミー表現に基づいて古典的不変量の様々な評価式を与える新しい手法を提供している。
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