| 研究概要 |
共形場理論におけるモノドロミー表現の構造について研究し,量子群との関連を明らかにした.また,得られた組みひも群,写像類群の表現を用いて,ウィッテンによって提唱された3次元多様体の位相不変量のヘーガード分解による記述を与えた.これにより,結び目のトンネル数,3次元多様体のヘーガード種数など,古典的な位相不変量の下からの評価を与えた.さらに,KZ方程式のモノドロミー表現に関する成果をバシリエフ不変量に応用した,とくに,純組みひも群について,バシリエフ不変量の定めるフィルトレーションは,群の降中心列に一致することを示し,これを用いて,純組みひもについて,バシリエフ不変量が完全であることを証明した.この際,用いた手法は,いわゆるド・ラームホモトピー理論であるが,結び目全体の空間にもこの方法を拡張して,いわゆるバー構成法の一般化を定式化した.これにより,O次元コホモロジーがバシリエフ不変量全体と一致するような複体が得られ,結び目全体の空間上の微分型式を組織的に研究するわく組が与えられた.また,上記の3次元多様体の不変量についても,表現論的手法を援用することにより新しい知見が得られた.ディンキン図形の自己同型でわることにより得られる不変量に対して,いわゆるレベル-ランク双対性を証明した.
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