| 研究概要 |
共形場理論における相関函数のモノドロミ-表現の構造を研究し,得られた組みひも群,リーマン面の写像類群の表現と量子群,準ホップ代数との関連を明らかにした.また,これを用いて,3次元多様体の位相不変量を構成し,ウィッテンが,チャーン・サイモンズゲージ理論における分配函数として提唱した位相不変量について,数学的に厳密に定式化した.モノドロミ-表現のユニタリ性を,超幾何函数,局所系のコホモロジーの交叉理論によって証明し,応用として,3次元多様体のヘ-ガード種数,結び目のトンネル数など,古典的な不変量の下からの評価を与えた.さらに,KZ方程式のモノドロミ-表現に関する成果をバシリエフ不変量に応用し,ドラムホモトピー理論の手法を展開することにより,純組みひも群の降中心列が,バシリエフ不変量によるフィルトレーションと一致すること,さらに,純組みひもが,バシリエフ不変量によって完全に分類されることを証明することができた.バシリエフ不変量は,結び目全体の空間の0次のコホモロジーの研究に由来しているが,高次のコホモロジーについても,グラフ複体とよばれる概念を用いて,結び目全体のなす無限次元空間上のドラム複体を記述する手法を与えた.これを用いてチャーンサイモンズ摂動理論に示唆された,バシリエフ不変量,結び目の空間のコホモロジー類について,コンフィギュレーション空間上の積分としての表示を与えることができた.ここにあらわれるグラフは,チャーンサイモンズ摂動理論において準古典近似を行う際に登場するファインマン図形であり,無限次元的な手法で得られた位相不変量の具体的な記述を与えている.また,これらのグラフは,リーマン面のモジュライ空間のセル分割にもあらわれるものであり,両者の関係を明らかにすることは,今後の重要なテーマであると考えられる.
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