偶然現象の現代数学的研究

1996 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 07404005
• 研究種目: 基盤研究(A)
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 渡辺 信三 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90025297)
• 研究分担者: 岩塚 明 京都大学, 大学院・理学研究科, 講師 (40184890) ; 大鍛冶 隆司 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20160426) ; 重川 一郎 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (00127234) ; 西田 孝明 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70026110)
• キーワード: Malliavrin解析 / Stochastic area / 確率微分方程式 / Euler-Maruyama近似 / 熱核の近似スキーム / 熱対流問題 / Pauli作用素のスペクトル

研究概要

渡辺と重川が中心となってWiener空間の解析(Malliarrin解析)とその確率モデルへの種々の応用を研究した。主な成果は次のとおりである。
1.Atiyah-Singer指数定理におけるA-genusとコンパクトLie群の指数写像のTacobianとの類似はBerline-Getzler-Vergneによって注意されたが,このことを確率論的に見るとstochastic areaのLevyの公式の一つの表現より理解することが出来る。これはMalliavrin解析を用いたコンパクトLie群上の熱核の漸近公式の一つの応用である。
2.確率微分方程式の解の近似スキームであるEuler-Maruyama近似を用いて熱核の近似を与えるスキームを与えた。これもMalliavrin解析の応用の一つである。近似の速さに関しては京大理学研究科に外国人特別研究員として滞在したA.Kohatsu-Higaによってさらに改良された。
西田(孝)は表面張力が温度に依存するような自由表面を持つ熱対流問題の安定性を調べた。さらにRayleigh数。Marangoni数の変化に対して安定性の変わるneutral curveを数値的に求め,その精度保証を行った。
岩塚は,2次元の磁場内のPaubi作用素のスペクトルについて研究し,電場のポテンシャルによる摂動を加えたときに,スペクトルの下端0の周りで固有値の漸近分布を,磁場が回転対称の場合に求めた。

研究成果

• [文献書誌] Watanabe,S.: "Levg's stochastic area formula and Brownian motion on a compact Lie groups" Ito's Stochastic Calculas and Probability theory Springer-Verlag,Tokyo. 401-411 (1996)
• [文献書誌] Shigekawa,I.and Taniguchi,S.: "A Kahler metric ona based loop group and corariant differentiation" Ito's Stochastic Calculas and Probability Theory Springer-Verlag,Tokyo. 327-346 (1996)
• [文献書誌] Iohara,T.Nishida,T.Teramoto,Y.and Yoshihara,H.: "Benard-Marangoni convection with a deformable surface" Mathematical Problems on Computational Fluid Dynamics,数理研講究録. 974. 30-42 (1996)
• [文献書誌] Okaji,T.: "Uniqueness of the Cauchy problem for elliptic operators with fourfold characteristics of constant multiplicity" Comm.P.D.E. (発表予定).
• [文献書誌] Iwatsuka,A and Tamura,H: "Asymptotic distribution of eigenralues for Pauli operafors with spherically symmetric magnetic fields," Tsukuba Math.J.,. (発表予定).