多元環の表現と導来圏の研究

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640014
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 東京学芸大学
• 研究代表者: 宮地 淳一 東京学芸大学, 教育学部, 助教授 (50209920)
• 研究分担者: 廣川 真男 東京学芸大学, 教育学部, 講師 (70282788) ; 星野 光男 筑波大学, 数学系, 講師 (90181495) ; 蔵野 和彦 東京都立大学, 理学部, 助教授 (90205188)
• キーワード: 導来圏 / 双対鎖複体 / 森田双対理論 / Cohen-Macaulay環 / blow-up / 入射加群 / 完全環 / 量子

研究概要

本年度の実績の中で最も重要な結果は、可換環、代数幾何学に於ける双対鎖複体の概念を非可換ネーター環上に拡張し、双対鎖複体は全ての直既約入射加群を含むという代数幾何学に於けるresidual性が非可換環上でも成り立つことを示した事である。さらに双対鎖複体の存在と、導来圏間の双対性の存在の同値性が示すことが出来、導来圏での森田双対理論の存在を証明した。
他に次のような関連する成果を得た。
1)可換Cohen-Macaulay環上のNoetherian多元環の加群圏におけるCohen-Macaulay近似の存在を示し、特に可換局所Cohen-Macaulay環上のsemipefect Noetherian多元環においては、極小近似が存在することを示した。また、等重複イデアルを中心に持つblow-upで得られるMaculay化に関しての性質の解明を行った。(宮地、蔵野を中心とする。)
2)非可換環の自己入射性に関して、Lambek捩れ理論による商圏から特徴付けをすることに成功した。また、完全環において局所的森田双対理論を使って、直既約射影加群の入射性の判定を行った。(星野を中心とする。)
3)Bose場と相互作用を持つ量子系の粒子に関する逆問題を解き、無限体積におけるカノニカル相関函数の長時間挙動の性質を解明した。(廣川を中心とする。)

研究成果

• [文献書誌] Jun-ichi Miyachi: "Derived categories and Morita duality theory" to appear in J.Pure and Appl.Algebra.
• [文献書誌] Jun-ichi Miyachi: "Cohen-Macaulay approximations and noetherian algebra" to appear in Comm.in Algebra.
• [文献書誌] Kazuhiko Kurano: "On Macaulayfication obtained by a blow-up whose center is an equi-multiple ideal" J.Algebra. 190. 405-434 (1997)
• [文献書誌] Mitsuo Hoshino: "Selfinjectivity of rings relative to Lambek torsion theory" Tsukuba J.Math.21. 1-13 (1997)
• [文献書誌] Mitsuo Hoshino: "Injective pairs in pefect rings" to appear in Osaka J.Math.
• [文献書誌] Masao Hirokawa: "An inverse problem for a quantum particle interacting with a Bose field and long-time behavior of canonical correlation functions in an infinite volume limit" to appear in J.Math.Soc.Japan.