| 研究概要 |
2次元の結び目,絡み目の位相不変量,特に,Vassiliev不変量に関する研究の結果を述べる:葉広,志摩との共同研究で,1次元結び目に対してVassiliev不変量を定義したように射影を用いて2次元リボン結び目に対してVassiliev不変量を定義し,正規化したアレキサンダー多項式をテイラー展開して得られる不変量がVassiliev不変量になることを示した.さらに,位数2のVassiliev不変量について,1次元結び目のときのように回帰的に計算して得られることを示した.
次に,1次元の結び目,絡み目の位相不変量についての研究の結果を述べる:絡み目のHOMFLY多項式やKauffman多項式を係数多項式の和によって表わしたとき,最初の係数多項式はその各成分の部分結び目の最初の係数多項式と絡み数によって表わすことができることがLickorish-Millettによって知られている.これを一般化して,HOMFLY多項式,Kauffman多項式の2番目,3番目の係数多項式について同様の公式を導いた.また,HOMFLY多項式の係数多項式の特殊値であるConway多項式の最初の係数については,絡み数によって表わすことができることが,Hosteによって知られている.これに対して,絡み目のVassiliev不変量を応用した別証明を与えたが,さらに,上述のLickorish-Millettの公式の一般化から類推して,HOMFLY多項式の初めの(絡み目の成分数から1を引いた数)の係数多項式の特殊値についても絡み数で表わすことができることをVassiliev不変量を応用して証明した.
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