| 研究概要 |
今年度は、準線形放物型方程式u_t=△u^m+f(u)のCauchy問題とDirichlet問題について研究した。ただし、m【greater than or equal】1、f(u)は非負で爆発条件を満たすとする。この時、初期値u_0(x)【greater than or equal】0が十分大きい時解は有限時間で爆発することが良く知られている。すなわち、爆発時刻をt_b(u_0)とすると、lim_<t↑tb(uo)>)||u(・,t)||_∞=∞となる。我々は爆発後の解について次のような結果を得ることができた。
1、もし△u^m_0+f(u_0)【greater than or equal】0が成り立つ時、解はt_b(u_0)で完全爆発する、すなわち、u(・,t)≡∞ t>t_b(u_0)である。ただし、m>1の時、初期値u_0に対し考えている領域の境界の近くまたは|x|=∞の近くでの単調性についての仮定等が必要である。
2、f(u)=u^p、1<p/m<(N+2)/[N-2]+の時、解はt_b(u_0)で完全爆発する。ただし、Cauchy問題の場合には、初期値u_0に対し|x|=∞の近くでの単調性についてのある仮定が必要である。
上の二つの結果はm=1のときBaras-Cohenによって得られているが、彼らの方法はm>1の場合には適用できない。
今後は、これらの結果や方法を利用して、科研費研究課題の研究を進めていく予定である。
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