標数pの手法を用いた特異点の研究

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10640042
• 研究機関: 日本大学
• 研究代表者: 渡辺 敬一 日本大学, 文理学部, 教授 (10087083)
• 研究分担者: 鈴木 正彦 日本大学, 文理学部, 教授 (00171249) ; 松浦 豊 日本大学, 文理学部, 助教授 (50096905) ; 森 真 日本大学, 文理学部, 教授 (60092532) ; 茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 助教授 (40219978) ; 黒田 耕嗣 日本大学, 文理学部, 教授 (50153416)
• キーワード: Frobenius写像 / rational singularity / 整閉イデアル / Hilbert-Kunz multiplicity / F-regular ring / log terminal singularity

研究概要

本研究は,標数pの手法を用いて特異点を解析し,
以下のような成果を得た.
・代数幾何学で重要なterminal singularityなどの特異点の族はFrobenius写像の作用によって特徴付けられる(F-regular,F-rational,F-terminal rings).また,"singularities of pairs"に対しても,KLT(川又log-terminal)等の特異点の族をF-regularなどのFrobenius写像の作用を用いた概念で特徴付けができた(原伸生氏との共同の結果).
・Frobenius写像の作用によってHilbert-Kunz multiplicityという新しい重複度の概念が定義される.研究代表者は,この重複度が正則局所環を特徴付けることを前に示したが,その他に,2次元では「単純有理特異点」を特徴付けることがわかった.また,2次元有理2重点の整閉イデアルのHilbert-Kunz multiplicityが「MaKay対応」を用いて特異点の解消のグラフを用いて示されることがわかった(吉田健一氏との共同の結果).
・整閉イデアルの族に関し,整閉イデアルのみによる組成列の存在,colength 1の整閉イデアルの族が"fiber cone"と1対1対応が付くなどの大変興味深い事実を発見した.また,これにより,2次元正則局所環での単純イデアルの新しい特徴付けを発見した(S.Noh氏との共同の結果).

研究成果

• [文献書誌] K.Watanabe and K.Yoshida: "Hilbert-Kunz multiplicity and Inequality between multiplicity and colength. "J.of Algebra. 230. 295-317 (2000)
• [文献書誌] N.Hara and K.Watanabe: "F-regular and F-pure rings vs log-terminal and log-canonical singularities"J.of Algebraic Geometry. (To appear).
• [文献書誌] K.Watanabe and K.Yoshida: "Hilbert-Kunz multiplicity of two-dimensional local rings"Nagoya J.of Math.. 162(to appear). (2001)
• [文献書誌] K.Watanabe and K.Yoshida: "Hilbert-Kunz multiplicity, Makay correspondence and good ideals in 2-dimensional national singularities"Manuscripta Math.. (to appear).
• [文献書誌] M.Mori: "Higher order mixing property of piecewise linear transformations"Discrete and Continuous Dynamical Systems.. Vol6,No4. 915-934 (2000)
• [文献書誌] T.Miyazaki and K.Motegi: "Toroidal surgery on periodic knots"Pacific J.of Math.. 193. 381-396 (2000)