| 研究概要 |
本年度は,これまでの結果の拡張を試みるとともに,本研究の最終年としてのまとめを行った.
理論面においては,射影流における極小集合の位相的特徴づけに成功するとともに,2次元多様体の離散力学系における局所連結な極小集合の分類を行った.これまで本研究の中で,ゴットシャーク・ヘドランドの手法やルエルの回転数を使った手法を用い,射影流の解析を試みてきた.本年度は,これにノボ・オバヤの解析的手法を加味したところ,極小集合が2つ以上存在する射影流について,その極小集合の位相幾何学的特徴づけに成功した.これにより,極小流における射影流の鎖循環集合が全体になることも示せた.一方,2次元多様体の離散力学系において,単純な場合を除けば,その局所連結極小集合がシェルピンスキ・ガスケットかその亜種になることを証明した.これは,「無限回微分可能な微分同相写像は複雑な局所連結極小集合を持たない」というファチ・エルマン予想の妥当性を裏付けるものとなっており,また,フラクタル図形が力学系理論において重要であることも立証するものとなった.
応用面においては,気象現象で現れるローレンツ・アトラクタの位相力学系としての定式化を学生とともに研究した.ローレンツ・アトラクタはカオス現象の中でもっとも有名なものであるが,その位相力学系的な性質は完全に把握されてはいない.実際,幾何学的モデルがローレンツ・アトラクタと位相共役であること,また,パリ-写像の完全な分類においていまだ未解決な部分が残っている.本研究の中で,或る特殊なローレンツ・アトラクタに関してそのカオス性を数学的に証明し,カオス制御が可能であることを示した.
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