| 研究概要 |
山田は,まずいくつかのアフィンリー環の基本表現に関して,そのウエイトベクトルを具体的に求める,という研究を行った.特に一番簡単なアフィンリー環であるA^<(1)>_1に関しては2つの実現を考えウエイトベクトルがそれぞれシューア函数のモジュラー版,シューアのQ-函数で書けることを発見した.これら2つの実現を詳しく解析することにより,対称群のスピン分解行列の単因子について興味深い事実を見い出した.すなわち対称群の標数2の場合のスピン分解行列の単因子がすべて2の冪になっている,ということである.対称群のモジュラー表現の一般論を用いても証明できるが,その後,アフィンリー環論を用いた簡明な証明を発見した.単因子が2の冪ということだけではなく,その指数の出方についても詳しく知ることができるのではないか,と模索している.
ジャック多項式の特殊化である帯多項式の研究過程において,対称群の指標表にちょっと不思議な現象があることを発見した.実はこの現象は50年前にリトルウッドによって証明されていることを知るのだが,彼の元々の証明は煩雑を極める.そこで大学院生の水川裕司とともにその簡明な証明を与えた.同様の現象が対称群のスピン指標表においても見つかっており,その証明も与えられた.通常の指標ではシューア函数の表示が本質的に用いられるがスピンの場合はQ-函数のパフィアン表示が必要となる.
池田岳との共同研究でアフィンリー環A^<(1)>_1の基本表現の斉次実現を詳しく考察して非線型シュレディンガー方程式系の斉重多項式解のすべてを求めることができた.長方形のヤング図形に付随するシューア函数が本質的に登場する.現在論文を準備中であり,また一般のアフィンリー環への拡張を模索中である.
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