高階微分方程式の解の振動的性質

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640170
• 研究機関: 愛媛大学
• 研究代表者: 内藤 学 愛媛大学, 理学部, 教授 (00106791)
• 研究分担者: 宇佐美 広介 広島大学, 総合科学部, 助教授 (90192509) ; 橋本 貴宏 愛媛大学, 理学部, 助手 (60291499) ; 坂口 茂 愛媛大学, 理学部, 助教授 (50215620)
• キーワード: 振動 / 正値解 / half-linear / 固有値問題 / 境界値問題

研究概要

本研究の目的は、Emden-Fowler型の非線形項をもつ高階(2階を含む)常微分方程式に対して、その解の振動的性質すなわち解の零点の個数、分布などについて詳しく調べることである。また、常微分方程式についての結果を念頭において、高階楕円型偏微分方程式の解の振動的性質を詳しく調べることである。
本年度、この研究によって得られた新しい結果、新しい知見は次の様なものである。
1.任意の非線形項をもつ高階常微分方程式を考察し、Kiguradzeクラスと呼ばれている正値解のクラスの解が存在するための必要十分条件を得た。
2.half-linear非線形2階常微分方程式に対して、正則固有値問題を考察し、Sturm-Liouville線形正則固有値問題の完全な拡張を得た。
3.4次元Emden-Fowler型常微分方程式系(単独準線形4階方程式を含む)に対して、非振動解の無限遠点での漸近挙動を詳しく論じ、ある特別な漸近挙動をする非振動解が存在するための必要十分条件および非振動解が存在しないための必要十分条件を樹立した。
4.ある種の準線形2階常微分方程式の正値解の漸近形を完全に決定した。
5.2次元の半線形ラプラス型方程式系に対して、ある種のリューヴィル型定理を証明した。
6.線形高階常微分方程式に対して、半無限区間[a,+∞)における特異固有値問題を考察し、可算固有値列の存在性と、n番目の固有関数は丁度n個の零点をもつことを明らかにした。
7.half-linear非線形2階常微分方程式の非振動解で、無限遠点である特別な漸近行動をするものの零点の個数は、パラメータとともに、丁度1個づつ変化していくことを明らかにした。

研究成果

• [文献書誌] Takasi Kusano and Manabu Naito: "Singular solutions of a singular differential equation"Journal of Inequalities and Applications. 5・5. 487-496 (2000)
• [文献書誌] Manabu Naito and Kimihiko Yano: "Positive solutions of higher order ordinary differential equations with general nonlinearities"Journal of Mathematical Analysis and Applications. 250・1. 27-48 (2000)
• [文献書誌] Kusano Takasi,Manabu Naito and Wu Fentao: "On the oscillation of solutions of 4-dimensional Emden-Fowler differential systems"Advances in Mathematical Sciences and Applications. 11・2(掲載決定). (2001)
• [文献書誌] Kusano Takasi and Manabu Naito: "Sturm-Liouville eigenvalue problems for half-linear ordinary differential equations"Rocky Mountain Journal of Mathematics. (掲載決定).
• [文献書誌] Shigeru Sakaguchi: "Regularity of the interfaces with sign changes of solutions of the onedimensional porous medium equation"Journal of Differential Equations. (掲載決定).
• [文献書誌] Shigeru Sakaguchi: "Stationary critical points of the heat flow in spaces of constant curvature"Journal of London Mathematical Society. (掲載決定).
• [文献書誌] Takahiro Hashimoto,Michinori Ishiwata and Mitsuharu Otani: "Quasilinear elliptic equations in infinite tube-shaped domains"Advances in Mathematical Sciences and Applications. 11・2(掲載決定). (2001)
• [文献書誌] Toshiaki Kusahara and Hiroyuki Usami: "A barrier method for quasilinear ordinary differential equations of the curvature type"Czechoslovak Mathematical Journal. 50・1. 185-196 (2000)
• [文献書誌] Ken-ichi Kamo and Hiroyuki Usami: "Asymptotic forms of positive solutions of second-order quasilinear ordinary differential equations"Advances in Mathematical Sciences and Applications. 10・2. 673-688 (2000)
• [文献書誌] Yuki Naito and Hiroyuki Usami: "Oscillation criteria for quasilinear elliptic equations"Nonlinear Analysis. (掲載決定).
• [文献書誌] Tomomitsu Teramoto and Hiroyuki Usami: "A Liouville type theorem for semilinear elliptic systems"Pacific Journal of Mathematics. (掲載決定).
• [文献書誌] Ken-ichi Kamo and Hiroyuki Usami: "Asymptotic forms of positive solutions of second-order quasilinear ordinary differential equations with sub-homogeneity"Hiroshima Mathematical Journal. (掲載決定).