| 研究概要 |
1.無限に続く微細構造の分岐.活性因子・抑制因子型の反応拡散系に対して,多次元空間における球対称遷移層解の存在を示した.更に,活性化因子の為す層の厚さが零に行くとき,微細構造を持つ非球対称な遷移層解が無限個の厚さに於いて分岐することを示した.また,分岐した非球対称遷移層解の層の厚さと,その解の界面に沿った特徴的な波長との間には,「二分の一乗則」と呼ばれる関係があることを明らかにした.
2.非局所項を持つ界面方程式.反応拡散系の特異極限として,平均曲率と非局所項を併せ持つ界面方程式を導出し,その適切性(時間局所解の存在と一意性)を証明した.さらに,幾何学的に単純な形状を持つ領域に於いて,この界面方程式の平衡解の存在を示した.この界面方程式の平衡解に,もとの反応拡散系の遷移層を持つ平衡解が,安定性も込めて対応することを確立した.
3.幾何学的変分問題と界面方程式.バランスの取れた反応項を持つ反応拡散系の界面方程式が,幾何学的な変分問題の勾配系として得られることを示した.
4.界面方程式の漸近展開とダイナミクスの階層的構造.従来あまり力点が置かれていなかった界面方程式の導出過程を,詳細な漸近展開解析により精密化した.この中で,反応拡散系には一般に複数の時間スケールと対応する複数の界面方程式がある,つまり,階層的にダイナミクスを捉える視点を与えた.
5.境界と交わる内部遷移層.Allen-Cahn方程式に対して,内部境界層の存在を示した.sらに,この解の安定性と境界の幾何学的情報が深く関わっていることを示した.ここで開発した方法は,最大値原理が適用出来ない場合にも有効であり,反応拡散系への拡張が期待される.
|
