| 研究概要 |
1.リーマン多様体上の古典力学系の構造と対応する量子力学系のスペクトルの性質の関係の考察するという研究目的に沿って,前年に引き続き,多様体上に磁場が与えられた場合の研究を行った。前年の研究においては,磁場における古典力学系の量子化条件をみたす不変トーラス(ラグランジュ多様体)および対応する量子エネルギーの半古典近似をフーリエ積分作用素の理論に基づいて明らかにしたが,今年は,安定な周期古典軌道に対応して,量子エネルギーの半古典近似が得られることを,拡張されたフーリエ積分作用素の理論に基づいて明らかにした。ここで,拡張されたフーリエ積分作用素とは,イソトロピック部分多様体に対応して定義される作用素である。ある種の「量子化条件」を満たす古典周期軌道から定義されるイソトロピック多様体に対応するフーリエ積分作用素によって「近似的な」固有関数のをつくることによって結論を導く。
2.多様体上の楕円型作用素の離散対応物として,グラフ上で定義される楕円型作用素(行列)のスペクトルの研究を開始した。これまで蓄積してきた,多様体上の作用素に関する研究の補完,あるいはグラフ特有の興味深い性質の考察を目指す。今年度は,当面,これまでに沢山の研究者によって蓄積されてきた理論,結果について自分の視点で見直しを行った。
(1)グラフのラプラシアンの第2固有値の重複度に関するColin de Verdiereの不変量について考察した。
(2)等スペクトルグラフの問題について砂田氏の理論のグラフ版について考察した。
これらの研究については,今のところ,新しい独自の結果は得られていない。今後,研究継続したい。
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