| 研究概要 |
いくつかの凸な物体による散乱の研究において,その古典軌道にたいするゼータ関数の大域的に解析接続の可能性かつ解析接続したところにおける極の存在,非存在の情報を如何にして得るかを研究した.
本年度の研究計画に記した通り,まず物体が3個の場合で,第3番目の物体が他の2つに比して小さい場合を取り上げた.これまでの当研究において,この考察の基礎となる2個の物体に対する古典軌道の反射の回数が増していく場合の軌道の漸近的挙動を極めて正確に記述することに成功していた.これを基に,軌道全体に第3番目の物体で反射する回数を媒介変数として,総和のとり方を整理しなおすと,新しい形の表示式を得ることが出来る.これは,解析接続の具体形を与えるものであり,極の場所を知る可能性をもっているものである.当然,この力学系がカオス的であるから必然的に具体形自体も複雑であって,その形自身から直ちに特異性が分かるとはいえないが,これの解析によって特異性を得る可能性を充分に備えたものである.有用性を示しているこの表示式の問題点は,解析接続の可能性を大域的には示していないという深刻な欠点がある.これを克服するのが,今後の研究の課題である.
もう一つの研究は,波動の散乱においてLax-Phillips予想を調べる手順として,ポワッソンの跡公式を用いる方法がある.これを用いるのに上に記した2つの物体に対する古典軌道の精密な評価を用いると,論証の中心部分である行列的跡の下からの評価を上の場合に得ることが出来る事がわかった.これは,従来の結果を大幅に改良するものである.
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