| 研究分担者 |
中尾 愼太郎 金沢大学, 理学部, 教授 (90030783)
一瀬 孝 金沢大学, 理学部, 教授 (20024044)
藤本 担孝 金沢大学, 理学部, 教授 (60023595)
田村 博志 金沢大学, 理学部, 助教授 (80188440)
藤曲 哲郎 金沢大学, 理学部, 教授 (60016102)
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| 研究概要 |
「2整数が互いに素になる確立=$6/\pi^2$」を主張するディリクレの密度定理を、確率論における大数の強法則に翻訳することは、次のようにして容易に達せられた: 基礎確立空間として$(\hat{Z},\lamdba)$、ここで$\hat{Z}$は整数環$Z$のコンパクト化である有限整アデール環、$\lambda$はその上の正規化されたハール測度、を考え、有限整アデールの組$(x, y)$が互いに素のとき、$1$、そうでないとき、$0$を返す関数を$X(x, y)$とすると、上のディリクレの定理は次のようになった:
S_N(x, y):=1/N^2\sum_{m, n=1}^N X(x+m, y+n) \to 6/\pi^2, \lambda\times\lambda-a.e.
次なる問題は、この収束の精密化である中心極限定理スケーリングの極限定理、即ち、確率変数列$\{N(S_N(x, y)-6/\pi^2)\}$の$N\to\infty$のときの様子を調べることである。結論を述べると、$N\to\infty$のとき、これは収束しない。詳しく云うと、$\hat{Z}$のある商環$\hat{Z}/\sim$を導入することにより、我々は確率変数列$\{N(s_N(x, y)-6/\pi^2\}$の極限点全体の集合を$\hat{Z}/\sim$の元によって連続的にパラメトライズすることにより記述することが出来た。
しかしながら、$N\to\infty$をCes\{a}roの意味で考えるならば$N(S_N(x, y)-6/\pi^2$は収束することが容易に分かる、即ち、適当な$\hat{Z}$上の$L^2$関数$U(x)$が存在して
1/N\sum_{n=1}^Nn(S_n(x, y)-6/\pi^2) \to U(x)+U(y)(L^2-収束)
となる。次年度の目標は、この極限$U$の分布はどうなっているか、例えば、正規分布であるかどうかなどを調べることである。
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