研究課題
基盤研究(B)
我々のここ数年の研究は、研究代表者の論文「幾何学的な数論のプログラム」に沿ったものです。その研究の結果として、階数nのゼータ関数とL関数に関する、とても多くの基本的な事実と関係を、我々は発見しました:(1)TateのThesisに動機付けられ、格子に対する新しいcohomology理論を発展させた。(2)交差安定性(intersection stability)と、(1)の新しいcohomologyを使って、階数nの非可換ゼータ関数とL関数を導入した。(3)これらの関数の基本的な性質を確立した。(4)幾何学的なtruncationと、解析的なtruncationの間の関係を発見しました。(5)非可換L関数を導入し、それらの基本的性質を示しました(6)(4)と(5)に基づいて、我々は、非可換L関数と、我々がアイゼンシュタイン周期(特別な種類のアーサーの周期)と呼んでいるものを関連させることができました。(7)例:(i)Jacquet--Lapid--Rogawskiによる、ランキン--セルバーグとザギヤーの方法のadvanced versionを使って、我々は、いわゆる尖点形式に付随した、我々のL関数の具体的な表示を得ました。(ii)(i)を用いた直接的な応用として、ヘンリー・キム(トロント大学)と共に我々は、数体上の分裂半単純群に付随した基本領域を、アーサーのtruncationでtruncationしてできる領域の体積を導く、一般的な公式を発見しました。(8)(i)(7.ii)に基づき、更なる研究をした結果、我々は半安定格子のモジュライ空間の体積の、一般的な公式を見つけました。関数体の場合、これはHarder-Narasimhanによる基本的な論文において与えられています。比較すると、幾何学的な対象に彼らが使った方法は、代数的なものであり、我々が算術的な対象に使った方法は、解析的な物であるといえます(我々は、アイゼンシュタイン級数の留数を使います)。(ii)(i)から、非可換ゼータ関数の特殊値と、古典的なデデキント・ゼータ関数の特殊値の間の、基本的な関係式を見つけることができます。(9)関数体の場合,我々は、半安定ベクトル束のモジュライ空間に関する、refined Brill--Noether Loci理論を導入しました。特に、楕円曲線の場合において、これがうまく働けば、一般の素数の階数pのゼータ関数のリーマン仮説に対する証拠が得られるであろうと期待しています。
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