等質空間と変分問題

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540058
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 田崎 博之 筑波大学, 数学系, 助教授 (30179684)
• 研究分担者: 守屋 克洋 筑波大学, 数学系, 助手 (50322011) ; 芥川 玲子(相山 玲子) 筑波大学, 数学系, 講師 (20222466) ; 伊藤 光弘 筑波大学, 数学系, 教授 (40015912) ; 國分 雅敏 東京電機大学, 工学部, 助教授 (50287439) ; 井川 治 福島高専, 一般科, 助教授 (60249745)
• キーワード: 等質空間 / 変分問題 / 積分幾何学 / 交叉積分公式 / Poincareの公式 / Croftonの公式 / Kahler角度

研究概要

研究代表者は積分幾何学を等質空間内の変分問題に応用するために、Poincareの積分公式とCroftonの積分公式の具体的な表示に関する研究を進めた。今までに複素空間形内の一般次元の実部分多様体に対するPoincareの公式を表示するためにKahler角度を拡張した概念:多重Kahler角度を導入し、多重Kahler角度による部分多様体のPoincareの公式を表示するための一般論を作ってきた。この一般論を利用していくつかの場合に部分多様体に関するPoincareの公式を具体的に表示することに成功した。この結果、部分多様体の多重Kahler角度の積分と体積に関する不等式を導くことができ、これらの幾何学的量に関する変分問題を扱うための道具が整ってきた。多重Kahler角度は部分多様体の基本的な量であり、Poincareの公式の表示以外にもHerimite多様体内の部分多様体への活用方法がわかってきた。さらにその他のRiemann等質空間におけるPoincareの公式の表示も求めることができた。これらの研究では群作用の軌道の幾何学が積分公式の具体的表示を得るために有効であることがわかった。さらに非コンパクト型Riemann対称空間内の鏡映部分多様体によるcroftonの公式の定式化にも有効であることがわかってきた。群作用の軌道の幾何学はPoincareの公式だけではなくそれ以外の交叉積分公式を定式化する際にも有効であることが明かになってきている。これまでの研究はPoincareの公式より一般的な交叉積分公式に関する今後の研究の基盤になるものと思われる。

研究成果

• [文献書誌] H.Tasaki: "Generalization of Kahler angle and integral geometry in complex projective spaces II"Math.Nachr.. 252. 106-1112 (2003)
• [文献書誌] H.Tasaki: "Integral geometry under the action of the first symplectic group"Archiv der Mathematik (Basel). 80. 106-112 (2003)
• [文献書誌] H.Tasaki: "Poincare formulae of submanifolds in complex space forms"Proceedings of the 6th International Workshop on Complex Structures and Vector Fields. 205-218 (2003)
• [文献書誌] K.Moriya: "Existence of algebraic minimal surfaces for an arbitrary puncture set"Proc.Amer.Math.Soc.. 131・1. 303-307 (2003)
• [文献書誌] O.Ikawa: "Hamiltonian dynamics of a charged particle"Hokkaido Math.J.. 32・3. 661-671 (2003)
• [文献書誌] M.Kokubu: "An elementary proof of Small's formula for null curves in PSL(2,C) and an analogue for Legendrian curves in PSL(2,C)"Osaka J.Math.. 40・3. 697-715 (2003)