複雑な系における確率論と実解析学の接点

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540113
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (90234509)
• 研究分担者: 重川 一郎 京都大学, 理学研究科, 教授 (00127234) ; 高橋 陽一郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20033889) ; 渡辺 信三 立命館大学, 理工学部, 教授 (90025297) ; 日野 正訓 京都大学, 情報学研究科, 助教授 (40303888) ; 木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• キーワード: 複雑な系 / ベソフ空間 / 拡散過程 / 飛躍型確率過程 / ホモジナイゼーション / 熱核 / 無限次元空間

研究概要

複雑な系における確率論と実解析学に関連して、本年度行った研究により得られた成果は以下の通りである。
1.空間内に複雑な系が可算無限個存在し、各系については熱伝導に関する情報がある程度分かっている時に、それぞれの系にしみ込む拡散過程を構成しその性質を調べるという問題を引き続き取り扱った。ベソフ空間のトレースの理論を援用することにより、2次形式の正則性を示した。熱核の短時間挙動についての詳しい評価を得て、これを用いて、短時間挙動における「最も起こりやすいパス」をエネルギー関数の変分問題の解として表現した。これらの結果はB.M. Hambly氏との共著で現在論文を投稿中である。
2.D-setと呼ばれるフラクタル図形の上に飛躍型確率過程を構成し、これらの熱核の詳しい評価を得た。扱う2次形式の定義域はこの場合もベソフ空間となり、熱核のナッシュ型の評価を得る際にベソフ空間の埋め込み定理が有効に利用される。熱核のoff-diagonalの評価では確率論を用いた議論が用いられ、実解析学と確率論の手法をうまく融合させている。また、得られた熱核の評価を用いて、確率過程の再帰性や、粒子の軌跡のハウスドルフ次元などを計算した。これらの結果はZ.Q. Chen氏との共著で現在論文を投稿中である。
3.有限分岐的なフラクタルにおいて、ホモジナイゼーション(均質化)の問題を取り扱った。フラクタルを近似する無限グラフ上の各ボンドに独立同分布・ランダムな抵抗を与えて決まる連続時間マルコフ連鎖について、適当なスケーリングと、ある条件のもとで、その長時間挙動が非自明な拡散過程に収束することを証明した。その際、対応する繰り込み写像の力学系を解析することが鍵となる。この結果については、現在論文を投稿中である。

研究成果

• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Some remarks for stable-like jump processes on fractals"In : Trends in Math., Fractals in Graz 2001 (P. Grabner and W. Woess (eds.)). 185-196 (2002)
• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Asymptotics for the spectral and walk dimension as fractals approach Euclidean space"Fractals. 10. 403-412 (2002)
• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Laws of the iterated logarithm for the range of random walks in two and three dimensions"Ann. Probab.. 30. 1369-1396 (2002)
• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Multifractal formalisms for the local spectral and walk dimensions"Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.. 132. 555-571 (2002)
• [文献書誌] Ichiro Shigekawa: "Littlewood-Paley inequality for a diffusion satisfying the logarithmic Sobolev inequality and for the Brownian motion on a Riemannian manifold with boundary"Osaka J. Math.. 39. 897-930 (2002)
• [文献書誌] Masanori Hino: "On short time asymptotic behavior of some symmetric diffusions on general state spaces"Potential Anal.. 16. 249-264 (2002)
• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Function spaces and stochastic processes on fractals"数理解析研究所講究録. 1293. 42-54 (2002)
• [文献書誌] Yoichiro Takahashi: "Random point fields associated with certain Fredholm determinants II : Fermion shifts and their ergodic and Gibbs properties"Ann. Probab.. (発表予定).
• [文献書誌] Masanori Hino: "Small-time Gaussian behavior of symmetric diffusion semigroups"Ann. Probab.. (発表予定).
• [文献書誌] Masanori Hino: "On Dirichiet spaces over convex sets in infinite dimensions"Contemporary Mathematics, AMS. (発表予定).
• [文献書誌] 熊谷 隆: "確率論"共立出版(発表予定). (2003)