複雑な系における確率論と実解析学の接点

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540113
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (90234509)
• 研究分担者: 重川 一郎 京都大学, 理学研究科, 教授 (00127234) ; 高橋 陽一郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20033889) ; 渡辺 信三 立命館大学, 理工学部, 教授 (90025297) ; 日野 正訓 京都大学, 情報学研究科, 助教授 (40303888) ; 木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• キーワード: 複雑な系 / 熱核 / ナッシュ不等式 / 放物型ハルナック不等式 / ベソフ空間 / 飛躍型確率過程 / ソボレフ空間

研究概要

複雑な系における確率論と実解析学に関連して、本年度行った研究により得られた成果は以下の通りである。
1.Besov空間の理論の応用として、フラクタルを典型例として持つd-setと呼ばれるクラスの上に構成した飛躍型対称確率過程が、Triebel氏を初めとした関数空間の専門家が研究している作用素とどのような関係にあるかを調べた。
2.一般の有限分岐的フラクタルグラフにおいては、重複対数の法則のオーダーに空間方向の依存性があることを示した。この種のグラフにおいては、Harnack不等式はresistance距離と呼ばれる距離でコントロールできるが、熱核のoff-diagonal評価にはグラフ距離(geodesic)の情報が必要となり、resistance距離で等距離であってもグラフ距離では全く異なるオーダーとなることが起こりうるためである。
3.自己相似集合上の熱核の漸近挙動について研究し、測度がvolume doubling propertyを持つことと熱核の対角成分のある種の漸近評価と同値であることを示した。一般の測度-距離空間上のDirichlet形式から定義される熱核に対して、測度のvolume doubling propertyのもとでexit timeの評価とlocal Nash inequalityが熱核のある種の上からの評価と同値であることを示した。
4.無限次元空間上の関数空間についての一般論を展開した。まず、領域上で定義されたSobolev関数が全体空間に拡張できるかという問題に対して部分的な結果を得た。また、Rieszの表現定理を無限次元空間の場合に拡張し、その応用として抽象Wiener空間上のBV関数からなる関数空間に対して,Sobolev空間への埋め込みや、関数の測度値微分の滑らかさについての新たな性質を示した。

研究成果

• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Heat kernel estimates for stable-like processes on d-sets"Stoch.Proc.Their Appl.. 108. 27-62 (2003)
• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Diffusion processes on fractal fields and their large deviations"Probab.Theory Relat.Fields. 127. 305-352 (2003)
• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Heat kernel estimates for symmetric random walks on a class of fractal graphs and stability under rough isometries"Proc.of Symposia in Pure Math.. (発表予定).
• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Homogenization on Finitely Ramified Fractals"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Heat Kernel Estimates and Law of the Iterated Logarithm for Symmetric Random Walks on Fractal Graphs"Contemporary Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] Takashi Kumagai: "Function spaces and stochastic processes on fractals"Progr.Probab., Birkhauser. (発表予定).
• [文献書誌] Shinzo Watanabe: "On Spectra of noises associated with Harris flows"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [文献書誌] Yoichiro Takahashi: "Random point fields associated with certain Fredholm determinants. II. Fermion shifts and their ergodic and Gibbs properties"Ann.Probab.. 31. 1533-1564 (2003)
• [文献書誌] Yoichiro Takahashi: "Random point fields associated with certain Fredholm determinants I : fermion, Poisson and boson point processes"Journal of Functional Analysis. 205. 414-463 (2003)
• [文献書誌] Yoichiro Takahashi: "Random point fields associated with fermion, boson and other statistics"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [文献書誌] Ichiro Shigekawa: "Vanishing theorem of the Hodge-Kodaira operator for differential forms on a convex domain of the Wiener space"Infin.Dimens.Anal.Quantum Probab.Relat.Top.. 6. 53-63 (2003)
• [文献書誌] Ichiro Shigekawa: "Orlicz norm equivalence for the Ornstein-Uhlenbeck operator"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [文献書誌] Jun Kigami: "Harmonic analysis for resistance forms"Journal of Functional Analysis. 204. 399-444 (2003)
• [文献書誌] Jun Kigami: "Local Nash inequality and inhomogeneity of heat kernels"Proc.London Math.Soc.. (発表予定).
• [文献書誌] Masanori Hino: "On Dirichlet spaces over convex sets in infinite dimensions"Contemporary Mathematics, AMS. 317. 143-156 (2003)
• [文献書誌] Masanori Hino: "Small-time Gaussian behavior of symmetric diffusion semigroups"Ann.Probab.. 31. 1254-1295 (2003)
• [文献書誌] Masanori Hino: "Integral representation of linear functionals on vector lattices and its application to BV functions on Wiener space"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [文献書誌] 熊谷 隆: "確率論"共立出版. 207 (2003)