種々の数学に現れるモジュラーおよび準モジュラー形式の研究とその応用

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15340014
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 金子 昌信 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70202017)
• 研究分担者: 永友 清和 大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (90172543) ; 脇本 實 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00028218) ; 小池 正夫 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20022733) ; 高田 敏恵 新潟大学, 理学部, 助教授 (40253398)
• キーワード: モジュラー形式 / 準モジュラー形式 / 超幾何微分方程式 / 超特異楕円曲線 / アフィンスーパー代数

研究概要

超特異楕円曲線のj不変量の研究で現れた,複素上半平面上の二階の微分方程式について,その様々なモジュラー解及び準モジュラー解を調べた.重さにあたるパラメーターの値によって,合同群のモジューラー形式も解として生じるが,いずれもレベルが小さい合同群である.特に新しく分かったことの一つとして,パラメーターを5分の整数にしたときの解がある.このときはクライン,ラマヌジャンの仕事に現れた有名な関数が解として現れる.これは共形場理論の分類とも関係しており非常に興味深い.これまでと遅い,このモジュラー解の系列は古典的な直交多項式で記述することが出来ない,にも関わらず,漸化的に多項式を定義して解を記述できる.これは今までにない現象であると思われる.別の新しい現象として,準モジュラー解の出現がある.これについては方程式のバリエーションを考えても同様な現象が見られる.小池は準モジュラー形式に「スペシャル」という概念を導入して,代表者と共同でその性質をしらべているが,やはり非常に特殊な形の微分方程式を満たしていることが観察され,楕円曲線など数論的な対象との関連が注目される.「スペシャル」な準モジュラー形式のフーリエ係数は正であることが圧倒的に多い.その内の例としてデイグラフが研究した,楕円曲線のある特殊な被覆の個数の数え上げ母関数があるので,この場合は確かにフーリエ係数に意味がつく.他にもそういう例があれば非常に面白いが今のところ見つかっていない.脇本はアフィンスーパー代数の指標公式のから,種々のモジュラー形式の公式を導いた.

研究成果

• [文献書誌] Kaneko, Masanobu: "The Kappa function"Int.J.Math.. 14-9. 1003-1013 (2003)
• [文献書誌] Kaneko, Masanobu: "A variation of Euler's approach to values of the Riemann zeta function"Kyushu J.Math. 57-1. 175-192 (2003)
• [文献書誌] Kaneko, Masanobu: "On coefficients of Yablonski-Vorab'ev polynomials"J.Math.Soc.Japan. 55-4. 985-993 (2003)
• [文献書誌] Koike, Masao: "On modular forms arising from a differential equation of hypergeometrictype"The Ramanujan J.. 7. 145-164 (2003)
• [文献書誌] Nagatomo, Kiyokazu: "Finiteness of conformal blocks over compact Riemann surfaces"Osaka J.Math. 40. 375-391 (2003)
• [文献書誌] Wakimoto, Minoru: "Quantum reduction for affine superalgebras"Comm.Math.Phys.. 241. 307-342 (2003)