拡散過程とファジィ集合値確率過程の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15540127
• 研究機関: 佐賀大学
• 研究代表者: 小倉 幸雄 佐賀大学, 理工学部, 教授 (00037847)
• 研究分担者: 富崎 松代 奈良女子大学, 理学部, 教授 (50093977) ; 塩谷 隆 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90235507) ; 松本 裕行 名古屋大学, 情報文化学部, 教授 (00190538) ; 半田 賢司 佐賀大学, 理工学部, 助教授 (10238214) ; 三苫 至 佐賀大学, 理工学部, 教授 (40112289)
• キーワード: ファジイ集合値確率変数 / マルチンゲール収束定理 / 中心極限定理 / 経験過程収束定理 / Markov性 / Brown運動 / Levyの定理 / Pitmanの定理

研究概要

1.ファジィ集合値マルチンゲールの収束定理は、従来はKuratowski-Mosco収束とかグラフ収束とか比較的弱い位相でしか得られていなかった。本研究では、平均が同じ確率変数達を新しく導入した可分なバナッハ空間に埋め込むという手法を用いて、一番強い位相である拡張ハウスドルフ距離に関するファジィ集合値マルチンゲール収束定理を証明した。
2.一般集合値(またはファジィ値)の中心極限定理は、取る値の空間が可分でないために困難であり、実質的に可分になるようにLipschitz conditionを仮定した1986年のKlement-Puri-Ralescuの仕事しかなかった。本研究ではこの問題を、empirical processの理論に持ち込み、一般集合値の空間を埋め込む空間の最小被覆数のエントロピーの可積分性を示すことより解決した。
3.ブラウン運動Xの最大値過程をMとするとき、M-Xは反射壁ブラウン運動に、2M-Xは3次元ベッセル過程になり、従ってMarkov過程になりることはLevyの定理、Pitmanの定理として知られている。このことは定数のずれを持つブラウン運動についても正しく、分布は当然異なるが、cM-Xはc=0,1,2のときにMarkov過程になる。本研究では、cが上の場合以外にはcM-XはMarkov過程になり得ないことを証明した。また、cが上の場合にMarkovになることの明快な別証明を与えた。

研究成果

• [文献書誌] Y.Ogura: "A convergence theorem of fuzzy-valued martingales in the extended Hausdorff metric $H_\infty$"Fuzzy Sets and Systems. 135. 391-399 (2003)
• [文献書誌] Y.Ogura: "Central limit theorems for generalized set-valued random variables"Jour.Math.Anal.Appl.. 285. 250-263 (2003)
• [文献書誌] H.Matsumoto: "Markov or non-Markov property of cM-X processes"Jour.Math.Soc.Japan. 56(To Appear). (2004)
• [文献書誌] H.Matsumoto: "Interpretation via Brownian motion of some independence properties between GIG and gamma variables"Stat.Prob.Lett.. 61. 253-259 (2003)
• [文献書誌] H.Matsumoto: "On Dufresne's relation between the probability laws of exponential functionals of Brownian motions with different drifts"J.Appl.Prob.. 35. 184-206 (2003)
• [文献書誌] T.Shioya: "Convergence of spectral structures : a functional analytic theory and its applications to spectral geometry"Comm.Anal.Geom.. 11. 599-673 (2003)
• [文献書誌] T.Shioya: "Sobolev and Dirichlet spaces over maps between metric spaces"J.Reine Angew.Math.. 555. 39-75 (2003)
• [文献書誌] T.Shioya: "Behavior of distant maximal geodesics in finitely connected two-dimensional Riemannian manifolds II"Geom.Dedicata. 103. 1-32 (2004)
• [文献書誌] T.Shioya: "Volume collapsed three-manifolds with a lower curvature bound"Math.Ann.. (To Appear).
• [文献書誌] I.Mitoma: "Stochastic Holonomy"Proc.of the satellite conf.of ICM 2002 on Stochastic Analysis. (To Appear).
• [文献書誌] K.Handa: "Reversible distributions of multi-allelic Gillespie-Sato diffusion models"Annales de l'Institut Henri Poincar\'e, Probabilit\'es et Statistiques. (To Appear).