| 研究概要 |
ラプラシアンの固有値の特異摂動問題について考察する.Ω⊂R^2を境界が滑らかな有界単連結領域とし,γ:[0,T]→R^2を∂Ω上の2点を結ぶ,自己交差の無いΩ内の滑らかな曲線とする.曲線γは弧長でパラメータ付けされているとする.ε∈[0,T]に対し,L(ε)を∂Ω上でDirichlet境界条件,亀裂γ((ε,T))上でNeumann境界条件に従うL^2(Ω)上の(-Δ)とする(ここでΔは2次元ラプラシアンである).j∈Nに対し,λ_j(ε)をL(ε)の多重度を込めてj番目の固有値とする.λ_j(ε)はεの単調非減少関数である.曲線γと∂Ωが点{γ(0)}で次数k(1<k<∞)で接するときに,λ_j(ε)のε→+0とするときの精密な漸近展開を求めることが本研究の目的である.γ(0)=0とし,∂Ωとγ((0,T))は原点の近傍でそれぞれx=0とx=y^kで表されると仮定する.また,Ω＼γ((0,T))の2つの連結成分のうち,原点における頂角が0のものをΩ_+,頂角が2πのものをΩ_-とおく.L^±をL^2(Ω_±)上の(-Δ)で,∂Ω_±∩∂Ω上でDirichlet境界条件,γ((0,L))上でNeumann境界条件に従うものとする.L_+,L_-の第1固有値をそれぞれλ^+_1,λ^-_1とおき,λ^+_1<λ^-_1を仮定する.このとき,次の指数減衰評価を得た.
λ_1(ε)-λ^+_-=ο(exp(-π/2ε^<-k+1>)) as ε→0.
さらに精密な評価を得ることが今後の目標である。
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