| 研究課題/領域番号 |
15H03608
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (60027381)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 表現論 / 量子群 / 箙ヘッケ環 / 不確定特異点ホロノミック系 / 圏化 |
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| 研究実績の概要 |
表現論は対称性を研究する数学の一分野である。
古典的な群、リー環などを用いた対称性の研究から、量子群、ヘッケ環等の新しい言葉を用いたそれまで扱えなかった対称性の研究へと、その研究の領域が拡大している。これらの表現論における新しい方向をさらに進めて、代数・幾何等を総合的に用いた研究を行った。
また不確定特異点型ホロノミック系に対するリーマン・ヒルベルト対応を帰納層の概念を用いることにより、定式化できる。この理論を深めるため、フーリエ変換などで、どう振る舞うかを調べている。さらに具体的には次のような成果があがった。
1. 箙ヘッケ環の既約表現は、一般には、量子群の大域基底とは一致しないが、それと良く似た性質を持つ。その性質は、完全基底と呼ばれるが、それについて詳しく研究した。
2. 量子クイア超代数は、クリフォード代数を含んでいるため、その表現論は複雑である。しかし、ある種の表現に限ると、そのクラスは半単純で、しかもテンソル積で閉じている。さらに、このクラスの表現は、結晶基底を持っていることを証明した。しかし、この場合の結晶基底の導入には、通常の結晶基底の定義をかなり修正する必要がある。
3. 量子アフィン代数の表現論を、箙ヘッケ環を用いて調べることに成功した。その鍵は、R-行列で、それを用いて、箙ヘッケ環の表現のモノイダル圏から量子アフィン代数の表現のモノイダル圏への関手を構成することに成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
R-行列を用いた箙ヘッケ環によるモノイダル圏化がある程度進展したこと、不確定特異点線形常微分方程式に対応する帰納層のラプラス変換がある程度わかったことから、おおむね順調に進展していると判定した。
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| 今後の研究の推進方策 |
1. 対称でないカルタン行列の場合の量子座標環のクラスター代数構造を箙ヘッケ環の表現を用いたモノイダル圏化についての研究を続行する。とくに、表現や、普遍量に一変数付け加える事(アフィン化)をもちいて研究を進める。
2. 不確定特異点線形常微分方程式に対応する帰納層にあらわれるストークス現象の位相幾何的側面の研究を進める。
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