| 研究課題/領域番号 |
15H03608
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (60027381)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 表現論 / 量子群 / 箙ヘッケ環 / 不確定特異点ホロノミック系 / 圏化 |
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| 研究実績の概要 |
表現論は対称性を研究する数学の一分野である。古典的な群、リー環などをもちいた対称性の研究から、量子群、ヘッケ環、箙ヘッケ環等の新しい言葉を用いたそれまで扱えなかった対称性の研究へと、その研究の領域が拡大している。これらの表現論における新しい方向をさらに進めて、代数・幾何等を総合的に用いた研究を行った。
また不確定特異点型ホロノミック系に対するリーマン・ヒルベルト対応を帰納層の概念を用いることにより、定式化できる。この理論を深めるため、帰納層の超局所的性質を調べている。さらに具体的には次のような成果があがった。
1.量子アフィン代数の表現論を、箙ヘッケ環を用いて調べることに成功した。その鍵は、R-行列で、それを用いて、箙ヘッケ環の表現のモノイダル圏から量子アフィン代数のあるクラスの表現のモノイダル圏への関手を構成することに成功した。これは、いろいろな場合が考えうる。特に、アフィンA型とアフィンB型の表現の間の関連を見つけたことは、大きな成果である。
2.不確定特異点型ホロノミック系に対するリーマン・ヒルベルト対応で、対応する位相的圏の、一次元の場合にラプラス変換によりどう変化するかが解明された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
R-行列を用いた箙ヘッケ環によるモノイダル圏化がある程度進展し、クラスター代数との関連が解明された。
また、不確定特異点線形常微分方程式に対応する帰納層の超局所解析が重要であることがわかったことから、おおむね順調に進展していると判定した。
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| 今後の研究の推進方策 |
1. 対称でないカルタン行列の場合の量子座標環のクラスター代数構造を箙ヘッケ環の表現を用いたモノイダル圏化についての研究を続行する。とくに、表現や、普遍量に一変数付け加える事(アフィン化)をもちいて研究を進める。
2. クラスター代数の重要な性質であるローラン現象とモノイダル圏化の関連を研究する。
3. 不確定ホロノミー系に対応する帰納層の超局所的性質を研究する。不確定ホロノミー系については、超微分作用素の環を用いることにより、その超局所的構造が詳しく調べられているが、リーマン・ヒルベルト対応で対応する位相的対応物の超局所的性質は未だ研究されていないので、これを研究する。特に、量子接触変換によって、どう変化するかを研究する。
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