| 研究実績の概要 |
symphonic maps の heat flow version である symphonic flow についての研究を行った. 定義域が4次元 Euclid 空間で, 値域が一般次元の球面の場合に, symphonic flow の時間大域的弱解の存在を証明した. 証明では, penalty method を用いて値域が球面という条件を penlty 項として加えた penalized approximation equation の解を Galerkin method で構成しておいて, その解を収束させて求める弱解を得ている. Galerkin method の議論の部分では, 主要項である symphonic operator に対する monotonicity method が用いられている. 近似解の収束性については Hungerbuhler 等の議論が用いられている. その研究の過程で, 値域が一般次元の球面の場合の一般的な楕円型方程式（とその heat flow）に関して, その方程式の弱解の wedge による特徴付けが得られた.
一方、定義域あるいは値域が球面の直積である場合の symphonic maps に対して Liouville type の結果の研究を進めている. 定義域が5次元以上の球面の直積である場合に, Liouville type の結果が得られた. また, 4次元球面の直積から4次元球面への標準的射影が非自明な symphonic map を与えていることを証明することにより, 得られた結果が sharp であることを示した. 値域が球面の直積である場合については, 現在研究を継続している. この場合は, symphonic maps を与える汎関数が, 計量の pullback に関して非線型性であるため, 議論が複雑になる. 現在, 研究を進めている.
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