ゲージ群のトポロジーの研究

2019 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 15K04883
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 同志社大学
• 研究代表者: 河野 明 同志社大学, 理工学部, 教授 (00093237)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: ゲージ群 / 写像空間 / リー群 / Samelson積 / K理論

研究成果の概要

Gを位相群としPを空間X上の主G束とする。Pのゲージ群とはPの自己同型写像全体のなす位相群のことをいう。Pのゲージ群の分類空間は写像空間map(X,BG)の連結成分でPの分類写像を含むものと自然にホモトピー同値になる。一方、Pのゲージ群はGの交換子から定まるSamelson積と深い関係がある。はゲージ群の研究は写像空間を群論のテクニックを用いて解析するものと言える。本課題ではSamelson積の解析を通してゲージ群のホモトピー型の分類を目標としており、本年度は４次元球面状のSp(n)束のゲージ群のp局所ホモトピー型をKO理論を用いて分類した。この結果はすでにいくつかの研究で応用されている。

自由記述の分野

幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

ゲージ群のホモトピー論的研究は、写像空間やリー群のホモトピー論への応用も含めて、現在急速に成長する分野である。特に、リー群の積構造やそれに関する高次ホモトピー構造との関連を通した研究は重要である。本研究課題に関して得られた結果は主に、非単連結リー群に関するゲージ群とSp(n)束のゲージ群のホモトピー型の分類である。前者では岸本大祐氏（京都大学）との共同研究で得られた非単連結リー群のmod p分解が用いられ、後者ではSamelson積の計算においてKO理論が用いられている。これらの応用範囲は広く、今後も多くの研究で用いられると考えられる。