2018 年度研究成果報告書

力学系の方法による葉序螺旋タイリングの分岐の研究とその周辺

研究課題

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研究課題/領域番号	15K05011
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
研究分野	数学基礎・応用数学
研究機関	龍谷大学
研究代表者	山岸義和龍谷大学, 理工学部, 准教授 (40247820)
研究協力者	須志田隆道
研究期間 (年度)	2015-04-01 – 2019-03-31
キーワード	葉序 / 螺旋格子 / ボロノイタイリング / 円充填 / 連分数
研究成果の概要	葉序螺旋の幾何学的モデルはいくつか提案されているが、そのうちアルキメデス螺旋格子上のボロノイタイリング、ならびに対数螺旋格子上のボロノイタイリングおよび円充填について、とくに斜列と呼ばれる螺旋の本数に着目して、パラメータを動かしたときの斜列の変化を調べた。アルキメデス螺旋格子については、パラメータ空間を連続化する方法により、斜列の単調性、結晶粒界の準周期性、長方形タイルの縦横比の収束などの性質を簡明かつ厳密に証明することができた。対数螺旋格子については、斉次有界な距離関数を用いることによって線形格子とよく似た扱いが可能となり、ボロノイタイリングと円充填の分岐図が互いに双対であることがわかった。
自由記述の分野	応用幾何学
研究成果の学術的意義や社会的意義	葉序螺旋とは、ひまわりの種の並び方を幾何学的にデル化したものである。螺旋が作る縞模様を扱う際には、通常、歪みを無視して、直線状の縞模様で近似して考えることが多い。本研究では、螺旋による歪みを考慮して縞模様を扱うことを考えた。対数螺旋の場合には、きわめて特殊な斉次有界な距離関数が有効に機能することがわかった。この距離関数は、葉序と全く関係のない誤差解析の分野で既に発見されたものと同じである。アルキメデス螺旋の場合には、結晶粒の境界の存在と、その準周期的構造が証明された。ここではフィボナッチ数および黄金比が重要な役割を果たしている。