結び目と３次元多様体の量子不変量

2018 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 15K17539
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 東京工業大学 (2018); 京都大学 (2015-2017)
• 研究代表者: 鈴木 咲衣 東京工業大学, 情報理工学院, 准教授 (40636263)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: Quantum invariants / knots / 3-manifolds

研究成果の概要

2014年度から2018年度にかけて，絡み目の普遍量子sl2普遍量の幾何学的性質について研究を行った。J. B. Meilhanとの共同研究により, 普遍量子sl2普遍量のある射影部分がMilnor不変量を用いて表されることを示した。J. B. Meilhanとの共同研究により, 単連結なヤコビ図の上でのsl2ウェイトシステムの像と核の次元と対象群の加群としての指標を決定した。絡み目とタングルの普遍量子sl2不変量を、補空間の理想単体分割を使って再構成し、その構成が図式を用いた構成と同等になることを示した。これにより図式を経由した定義とは違う側面から量子不変量を調べる枠組みができた。

自由記述の分野

結び目理論、量子トポロジー

研究成果の学術的意義や社会的意義

一般に量子不変量は絡み目図式とR行列を用いて構成される。図式は2次元的な対象であり，3次元の中の絡み目の次元をひとつ落とす。図式とR行列を用いた代数的，組み合わせ的な定義により，量子不変量と絡み目の3次元的な幾何学的性質の関係は明らかではない。Milnor不変量は絡み数を一般化した不変量であり，代数的，組み合わせ的に定義された量子不変量との関係は非自明である。理想単体分割は絡み目の補空間を3次元のまま分割する方法であり，図式を経由した定義とは違う側面から量子不変量を調べる枠組みになる。