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前年度に引き続き、代数体上で定義された楕円曲線が持つ様々な特性について研究を行っている。
(1)有理数体上で定義された特異アーベル多様体
複素数体上で、虚数乗法をもつ楕円曲線の直積と同種になるアーベル多様体は特異アーベル多様体と呼ばれる。本研究では、特に有理数体上で単純な特異アーベル曲面を同種写像を法として決定するという問題を考えている。
この問題について、虚2次体の指標をもつQ曲線の存在が重要な役割をはたす。
これには虚2次体の判別式の型が大きく影響している。第一の型は判別式の素因子が4n+1の形の素数の積であるもの、第二の型は第一の型以外のものである。以前の研究で第二の型の判別式のとき、虚2次体のヒルベルト類体上にQ曲線が存在することとこれらの完全な分類を完成させた。第一の型のとき、ヒルベルト類体上にはQ曲線が存在しない。
その2次拡大を考えることによりQ曲線の存在と決定を行うことができる。したがって、この場合2次拡大を特定することと、その上での分類を解決すればよく、これは完成できた。
これらの結果を用いれば、有理数体上の類数次元のアーベル多様体で、"虚2次体上に虚数乗法をもつ"という性質をもつものの決定も行うことが出来ると思われる。このことについては、今後引き続き研究を進めていきたい。
(2)代数体の類数の可除性
楕円曲線の同種写像を用いた代数体の類数の可除性についての研究を行っている。特に類数が5で割れるような2次体の特徴付けの研究を行っている。
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