| 研究概要 |
1. CM型Q-曲線の分類
虚数乗法をもつ楕円曲線でガロア群の作用でisogeny類が不変という性質をもつものをQ-曲線とよぶ.Q-曲線をそのHecke指標を用いて分類を行った.ガロアコホモロジーによる同値関係を用いて具体的に記述した.
2.虚2次体に付随するアーベル多様体
虚2次体に対し,それを虚数乗法にもつ楕円曲線をEとする.Eの直積と同種である高次元アーベル多様体を特異アーベル多様体という.
(1)有理数体上定義される特異アーベル曲面はEからどのように構成できるかを考察した.ある条件をみたすガロア拡大とそれによる楕円曲線の係数制限を用いて得られることを示した。
(2)有理数体上定義される特異アーベル多様体で虚2次体上でCM型となり,かつ丁度類数次元を持つものの完全な分類を行った.対応するHecke指標の特徴付けとそれらの構成を行った.
3.楕円曲線のトーション群について
代数体上定義された楕円曲線のトーション群(有理等分点群)がisogeny類のなかでどのような構造をとりうるかを考察した.トーション群の最大値や最小値等、また関連したKatzの定理の別証明を与えた.
4.類数が5で割り切れる二次体
類数が5で割り切れる二次体を具体的に表示する問題を扱った.ある条件をみたすパラメータと3次式の値を用いて上記二次体をすべて表示することが出来るかという問題を提起し,いくつかの実例を通じてそれを考察した.
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