| 研究概要 |
Kac-Moody群に付随したSchubert多様体上にunipotent crystal, geometric crystal(幾何結晶)の構造を入れることができた。その応用として、affine Kac-Moody群の場合にBorel部分群内にある幾何結晶を構成し、そこに新たなaffine幾何結晶の構造をDynkin diagram automorphismを利用し入れることに成功した。これは、結晶基底の言葉でいうところの、完全結晶のある種の極限に当たるものになっており、超離散化/熱帯化の操作により得られることがわかった。この完全結晶というものは、affine量子群の結晶基底の記述をするために必要となるばかりでなく統計物理学の重要な量を計算するためにも欠くことのできないものである。
今回、幾何結晶のレベルでもその対応物が見つかったことは、大変意義深いことといえる。
さらに、上で構成した幾何結晶はfoldingという手法によりある1つの型の幾何結晶を用いて実現できることがわかった。これにより、tropical Rという表現論的にも重要な作用素が具体的に記述できた。
また、上の研究とは別に1の冪根におけるB, C, D型の量子群の既約表現を具体的に構成することにも成功した。
五味はHecke環の表現論や位相幾何学的に重要なMarkov traceをいろいろな型のHecke環の場合に具体的に構成することに成功した。
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