| 研究概要 |
余次元1葉層の平均曲率関数の特徴づけは,以前,完全に得ることが出来たので,今回は,余次元1葉層の平均曲率ベクトル場についての特徴づけを試みている.「関数」と異なって「ベクトル場」は「方向」までもが指定されているため,平均曲率関数のような簡単な特徴づけが得られるかどうか,今の所わかっていない.しかし,葉層に横断的なベクトル場を1つ与えたとき,適当な関数をかけることによって,その「±」方向には平均曲率ベクトル場を実現出来ることが示せた.これによって,葉層に横断的な一つのベクトル場を与えたときに,その関数倍によってかなり多くの平均曲率ベクトル場を実現出来ることが示せた.更に,それらのベクトル場の台は多様体全体になるので,葉層に横断的なベクトル場ならどんな複雑な挙動を持つものであっても,「±」方向には平均曲率ベクトル場として実現できることは,興味深い点であるとともに,逆に,平均曲率ベクトル場の特徴づけの難しさをも意味しているような気が,現時点ではしている.また,平均曲率ベクトル場になるようなベクトル場の特徴づけを定式化することは,一応出来たが,かなり複雑で,今の段階では実際の問題に応用出来るようなものには,残念ながら,なってない.この特徴づけは,葉層に付随した錘構造と,Schweitzer-Walczakによって導入された部分空間を関連させることにより得ることが出来た.この特徴づけの幾何学的な意味や,特徴づけに現れる複雑な条件の緩和や,その条件についての別の表現等に関しては,与えられたベクトル場の性質(+横断的),のみで,葉層とはあまり関係のない可能性を示す例もあるために,ベクトル場に付随した錐構造との関連を調べる必要もあり,今後の重要な課題であると考えられる.
|
