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2020 年度 実績報告書

高次元代数多様体の双有理幾何学

研究課題

研究課題/領域番号 16H02141
研究機関東京大学

研究代表者

川又 雄二郎  東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別教授 (90126037)

研究分担者 戸田 幸伸  東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
中村 勇哉  東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
高木 俊輔  東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
大川 新之介  大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
權業 善範  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2021-03-31
キーワード非可換変形 / 代数多様体 / 連接層 / 導来圏 / フロップ / 重みつき射影空間 / 双有理幾何学 / 有理曲線
研究実績の概要

非可換変形の一般理論と3次元代数多様体の双有理幾何学への応用についての研究を継続した。まず、部分的単純組というものを定義し、ひねくれ連接層の圏が部分的単純組を持つ場合の半普遍変形とそのパラメーター環を求めた。そしてそれを3次元代数多様体のフロップ収縮の場合に応用した。フロップ収縮には例外ファイバーのスキーム構造によって定まる長さという不変量があり、1から6までの値をとる。長さ1の場合には可換変形しかなく、2以上のときに非可換変形が起こる。具体的にはパラメーター環の2個の生成元が反可換性を持つ。この研究では、この反可換性が例外曲線の無限小近傍の構造から従っていることを証明した。さらに、長さ2のフロップであるLauferのフロップを一般化した族を定義し、この場合に非可換な変形環の同型からフロップ収縮の解析的同型が従うというDonovan-Wemyss予想が正しいことを証明した。非可換環が同型ではないことの証明は複雑で、一見すると同型に見えたりするところが興味深い。
また、長さが一般の普遍フロップ収縮族を構成し、変形環を計算した。
一方、特異点を持つ代数多様体の導来圏の研究も行った。射影空間の導来圏はBeilinsonの例外対象列によって生成されるが、重みつき射影空間の場合には特異点があるので例外対象列では生成されない。そこで少し一般化して、pretilting列というものを定義し、具体的な重みつき射影空間に対してこれで生成されることを証明した。Pretilting対象の自己準同型環として得られる非可換環は表現論の観点からも興味深いようで、Kalck氏との共同研究に発展した。

現在までの達成度 (段落)

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2023 2022 2021 2020

すべて 雑誌論文 (5件) (うち査読あり 5件) 学会発表 (5件) (うち招待講演 5件)

  • [雑誌論文] Non-commutative deformations of perverse coherent sheaves and rational curves2023

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 雑誌名

      J. Algebraic Geom.

      巻: 32 ページ: 59-91

    • DOI

      10.1090/jag/805

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Semi-orthogonal decomposition of a derived category of a 3-fold with an ordinary double point2022

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 雑誌名

      LMS Lecture Notes Series

      巻: 478 ページ: 183-215

    • DOI

      10.1017/9781009180849.007

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the derived category of a weighted projective threefold2022

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 雑誌名

      Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

      巻: 15 ページ: 245-252

    • DOI

      10.1007/s40574-021-00277-6

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On non-commutative formal deformations of coherent sheaves on an algebraic variety2021

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 雑誌名

      EMS Surv. Math. Sci.

      巻: 8 ページ: 237-263

    • DOI

      10.4171/EMSS/49

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Non-commutative deformations of simple objects in a category of perverse coherent sheaves2020

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 雑誌名

      Selecta Math.

      巻: 26 ページ: 43

    • DOI

      10.1007/s00029-020-00570-w

    • 査読あり
  • [学会発表] Deformations over non-commutative base2022

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 学会等名
      Higher Dimensional Algebraic Geometry, Johns Hopkins Univ.
    • 招待講演
  • [学会発表] Deformations over non-commutative base2022

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 学会等名
      Deformations of Geometric Structures, Columbia Univ. and Harvard Univ.
    • 招待講演
  • [学会発表] Semi-orthogonal decomposition and smoothing. (zoom lecture)2021

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 学会等名
      Algebraic Geometry Seminar, Tsinghua University
    • 招待講演
  • [学会発表] Non-commutative deformations of perverse coherent sheaves. (zoom lecture)2020

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 学会等名
      Komplexe Analysis, Mathematisches Forshungsinstitut Oberwolfach
    • 招待講演
  • [学会発表] Kunihiko Kadaira and complex manifolds. (zoom lecture)2020

    • 著者名/発表者名
      Yujiro Kawamata
    • 学会等名
      CMSA, Harvard University
    • 招待講演

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公開日: 2023-12-25  

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